Задача 4 практика 1

Задача 4.5. Нуклон в ядре за счет действия ядерных сил находится в сферической потенциальной яме радиуса м с непроницаемыми стенками. Считая, что основное состояние частицы в поле ядерных сил является сферически симметричным, оцените низший энергетический уровень нуклона в ядре. Массу покоя нуклона считать равной = кг.

Решение: Ядра атомов состоят из протонов и нейтронов. Эти частицы в ядерном взаимодействии ведут себя одинаковым образом, поэтому и протоны, и нейтроны в ядре называют общим названием - нуклоны.

Мощные короткодействующие ядерные силы удерживают нуклоны в ядре. По условию задачи поле ядерных сил в первом приближении можно моделировать сферической потенциальной ямой с непроницаемыми стенками

Здесь - расстояние нуклона от центра ядра, а - радиус потенциальной ямы, равный по порядку величины размеру ядра.

Стенки рассматриваемой потенциальной ямы () непроницаемы для частицы из-за бесконечности их энергетической высоты. Поэтому вне ямы, т.е. при , волновая функция нуклона равна нулю. Это означает, что нуклон находится только внутри ямы, где .

Для того, чтобы найти энергию нуклона в сферической потенциальной яме, нужно решить уравнение Шредингера для стационарных состояний

(4.6). С учетом того, что внутри ямы потенциальная энергия нуклона , уравнение Шредингера имеет вид

В силу того, что задача имеет сферическую симметрию, следует перейти в сферическую систему координат и рассматривать волновую функцию как функцию радиальной координаты и угловых переменных и , т.е. . Но поскольку, согласно условию задачи, основное состояние частицы в яме является сферически симметричным, т.е. не зависит от углов и , мы будем считать, что волновая функция частицы зависит только от радиальной координаты . В этом случае оператор Лапласа имеет вид:

Таким образом, уравнение Шредингера для частицы в сферической можно представить в виде

Искомое решение этого уравнения должно удовлетворять двум условиям:

Первое из этих условий является следствием ограниченности волновой функции в любой точке пространства, а второе - следствием непрерывности волновой функции с учетом непроницаемости стенок потенциальной ямы.

Будем искать волновую функцию в виде . Производные функции по координате есть

Подставляя их в уравнение Шредингера, получаем уравнение для функции

с граничными условиями

Эта задача формально полностью эквивалентна задаче о движении частицы в одномерной потенциальной яме шириной с бесконечно высокими стенками (см. раздел 4.2). Поэтому, с учетом соотношений (4.16), (4.17), ее решения можно записать в виде

Возвращаясь к функции , запишем ненормированные () волновые функции

являющиеся решением исходной задачи и описывающие все возможные сферически симметричные квантовые состояния частицы в данной потенциальной яме. Этим квантовым состояниям соответствуют значения полной энергии частицы

При это выражение определяет минимально возможную полную энергию нуклона в рассматриваемой модели ядра. Подставляя численные значения кг и м, находим Дж =

эВ = 2, 1 МэВ. Это значение энергии значительно превышает энергию электрона в атоме, что указывает на возможность выделения в ядерных процессах энергии, в миллионы раз превышающей энергию химических реакций. Осуществление реакций деления тяжелых ядер и синтеза легких ядер с выделением ядерной энергии подтверждает этот вывод, полученный как следствие законов квантовой механики.