Методы вычисления погрешностей

1. Погрешности табличных значений величин.

Погрешности табличных значений величин принимаются равными половине единицы разряда последней цифры.

Пример: из таблицы выписано значение плотности r=2, 7 *10³ кг/м³; ∆ r = (0, 1/2)*10³ = 0, 05*10³ кг/м³.

Результат: r = (2, 70 ± 0, 05)*10³ кг/м³.

2. Погрешности прямых измерений.

Прямые измерения – измерения, при которых результат считывается непосредственно со шкалы.

Пример. Измерения линейкой, термометром амперметром.

В этом случае абсолютная погрешность складывается из погрешности отсчета и инструментальной погрешности. Погрешность отсчета принимается равной половине цены деления, инструментальная тоже, или указывается отдельно, например, в виде класса точности.

Пример: Температура измеряется термометром с ценой деления 1°С. Измеренное значение t=54°С. Погрешность отсчета ∆ t_отсч = 0, 5°С, инструментальная погрешность ∆ t_инстр = 0, 5°С. Абсолютная погрешность ∆ t = 1°С. Результат: t = (54 ± 1) °С.

3. Погрешности косвенных измерений.

Косвенные измерения – измерения, при которых измеряемая величина определяется вычислением.

Пример: определение плотности. Измеряют m и V, r = m/V.

а) Метод границ.

Пример: определение плотности.

Измеренные значения массы и объема: m = (30.2 ±0.5) г, V = (24 ± 1) cм³.

Среднее значение плотности ρ _cр = 30, 2/24 = 1, 2583 г/см³,

нижняя граница плотности ρ _н.г = 29, 7/25 = 1, 1880 г/см³,

верхняя граница плотности ρ _в.г. = 30, 7/23 =1, 3348 г/см³,

абсолютная погрешность ∆ ρ = (1, 3348 – 1, 1880)/2 = 0, 0734 г/см³,

после округления ∆ ρ 0, 07 г/см³, ρ _ср 1, 26 г/см³.

Результат: ρ = (1, 26 ± 0, 07) г/см³.

б) Метод оценки результата.

Если определяемая величина вычисляется сложением или вычитанием, то абсолютные погрешности складываются. Если определяемая величина вычисляется умножением или делением, то складываются относительные погрешности.

Правила вычисления погрешности

4. Погрешности при многократных измерениях.

При повторных измерениях одной и той же величины результаты могут оказаться различными. Причиной этого могут служить непостоянство измеряемой величины, например, диаметра трубы, колебания напряжения в сети, трение в осях и т.д. Такие погрешности называются случайными. Они вызывают отклонение результатов измерений от истинного значения как в большую, так и в меньшую сторону и чаще всего не могут быть устранены.

Кроме случайных существуют систематические погрешности, вызванные неправильной настройкой приборов или другими причинами. Они вызывают отклонение только в одну сторону. Пример: отставание часов. Систематические погрешности можно устранить или учесть.

Если в опыте проведено n измерений одной и той же величины, то в качестве результата измерения принимают среднее арифметическое Ā.

Для расчета границы абсолютной погрешности вычисляют сначала среднюю квадратичную ошибку среднего арифметического (дисперсию):

= .

Если число измерений невелико, а достаточная надежность равно 95% или 90%, то границу абсолютной погрешности вычисляют по формуле:

Δ А = t* ,

где t называется коэффициент Стьюдента. Он зависит от числа измерений и заданной надежности и определяется по специальным таблицам. Обычно ограничиваются надежностью 95%.

Результат опыта записывают в виде:

А = Ā ∆ А

Такая запись означает, что при проведении многократных измерений величены А среднее арифметическое полученных результатов в 95 случаях из 100 будет находиться в интервале от Ā - ∆ А до Ā + ∆ А.

Коэффициенты Стьюдента