Метод сил при расчете статически неопределимых систем

Статически неопределимой называется система строительной механики, для которой невозможно определить внутренние усилия из уравнений равновесия.

В статически неопределимых систем существуют «лишние» связи, количество которых определяется степенью статической неопределимости системы.

В качестве неизвестных при решении таких систем используются силы, поэтому данный метод называется методом сил.

Порядок расчета статически неопределимых систем методом сил:

1) Рассчитывается степень статической неопределимости системы.

Степень статической неопределимости n простой системы (количество «лишних» связей) рассчитывается по формуле:

где Ш – количество простых шарниров (равно k-1, где k – число дисков, соединяемых шарниром);

С₀ – количество реакций, которые могут возникать во всех опорах системы;

Д – количество дисков.

Пример определения степени статической неопределимости:

Рисунок 1. Степень статической неопределимости

- балка (рис. 1, а): n=2·0+4–3·1=1;

- рама (рис. 1, б): n=2·2+4–3·2=2.

2) С целью преобразования статически неопределимой системы в статически определимую исключаются «лишние» связи. Их реакции заменяют неизвестными силами, а полученная система называется основной системой (ОС).

Пример: у балки (рис. 2, а) степень статической неопределимости n=1 (данную систему называют заданной системой (ЗС),). Если убрать «лишнюю» связь (правую опору) и обозначить неизвестную реакцию через X, получим ее ОС (рис. 2, б). Вариантов исключения лишних связей несколько (рис. 2, в-д). Для каждого из вариантов объем расчетов будет различным. Поэтому необходимо выбирать наиболее оптимальную ОС. Так в нашем примере необходимо выбрать первый вариант ОС (рис. 2, б), т.к. в этом случае эпюры построить проще.

Рисунок 2. Метод сил

3) Записываются канонические уравнения метода сил, исходя из условия, что перемещения системы по направлениям убраных связей равны нулю.

Пример: балка со степенью статической неопределимости 1. Ее ЗС (рис. 3, а) и ОС (рис. 3, б) должны быть эквивалентными. Чтобы это произошло перемещение в направлении убраной связи должно равняться нулю: Δ =0.

Рисунок 3. Каноническое уравнение метода сил

По принципу суперпозиции, это перемещение равно сумме перемещения Δ _X (рис. 3, в) от неизвестной реакции X и перемещения Δ _P (рис. 3, г) от заданной внешней силы P. Поэтому:

Δ =Δ _X+Δ _P=0

Полученное уравнение называется уравнением совместности деформаций.

Так как сила X неизвестна, перемещение Δ _X определить невозможно.

Рассмотрим единичное состояние (ЕС) основной системы, в котором на сооружение действует только единичная сила P=1 (рис. 3, д).

По закону Гука, в линейно-упругой системе Δ _X=δ X. Тогда уравнение совместности деформаций предстанет в следующем виде:

δ X+Δ _P=0.

Полученное уравнение называется каноническим уравнением метода сил.

Искомая сила:

X= –Δ _P/δ

Причем количество уравнений равно количеству убраных «лишних» связей:

где δ _ii – главные коэффициенты;

δ _ij – боковые коэффициенты;

Δ iP – грузовые коэффициенты.

Коэффициент δ ₂₁ представляет собой перемещение по направлению силы X₂, вызванное силой, равной единице, действующей по направлению силы X₁.

Симметрично расположенные относительно главной диагонали боковые коэффициенты равны между собой, т.е. δ _ik=δ _ki.

4) Для определения коэффициентов канонических уравнений для ОС строятся единичные эпюры от действия единичных сил, введенных вместо убранных «лишних» связей и грузовая эпюра Мp изгибающих моментов от действия заданной внешней нагрузки. Далее способом Верещагина определяются главные, боковые и грузовые коэффициенты.

5) Строятся эпюры изгибающих моментов от каждого найденного усилия Xi. Для этого ординаты построенных ранее единичных эпюр умножаются на найденные соответствующие величины Xi.

6) Строится итоговая эпюра изгибающих моментов (М). Для этого ординаты построенных эпюр изгибающих моментов от каждого найденного усилия Xi складываются с ординатами грузовой эпюры (Мp).

7) На базе эпюры М строится эпюра поперечных сил (Q).

8) Методом вырезания узлов из эпюры поперечных сил строится эпюра продольных сил (N).

9) Проверка правильности построения эпюр М, Q, N:

– статическая проверка состоит в проверке выполнения условий равновесия (уравнения статики), т.е.:

– деформационная проверка – в результате умножения окончательной эпюры изгибающих моментов М на любую из единичных эпюр должен получаться нуль.