Числовые характеристики функций одномерных случайных величин

Если X – случайная величина с известным законом распределения и , где – неслучайная функция скалярного аргумента x, то математическое ожидание и дисперсия случайной величины Y (если они существуют) могут быть найдены по следующим формулам:

, если X – СВДТ,

, если X – СВНТ;

, если X – СВДТ,

, если X – СВНТ.

Аналогичные формулы имеют место и для всех прочих начальных и центральных моментов распределения случайной величины .

Замечание 1. Таким образом, для вычисления числовых характеристик функции одномерной случайной величины X необязательно знать закон распределения случайной величины , а достаточно знать закон распределения случайного аргумента X.

Замечание 2. Если , то математическое ожидание случайной величины есть не что иное, как начальный момент s -го порядка, т.е.

.

Аналогично, если , то математическое ожидание случайной величины есть центральный момент s -го порядка, т.е.

.

Пример 2.3.7. Закон распределения случайной величины X имеет вид:

Вычислить и , если .

Решение. 1 способ (с помощью составления закона распределения случайной величины Y). Ряд распределения случайной величины Y имеет вид:

Тогда

;

.

2 способ (с помощью формул и ):

;

.

Ответ: , .

Пример 2.3.8. Случайная величина X задана плотностью распределения

Найти математическое ожидание и дисперсию функции .

Решение. Найдем вначале математическое ожидание:

.

Вычислим теперь дисперсию:

.

Ответ: , .

Замечание. Математическое ожидание и дисперсию функции можно было вычислить, найдя предварительно плотность распределения случайной величины Y.