Студопедия

Главная страница Случайная страница

Разделы сайта

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






Асимметрия и эксцесс






Значения случайных величин относительно своего центрального значения, которое определяется математическим ожиданием, могут располагаться по-разному (см. рис.1, рис.2). Особенности распределений по форме можно обнаружить с помощью таких числовых характеристик как асимметрия и эксцесс.

Определение 1. Говорят, что распределение случайной величины симметрическое, если равноудаленные от центра значения случайной величины принимаются с одинаковыми вероятностями; в противном случае распределение называется асимметрическим (т.е. несимметрическим), причем нарушение симметрии т.е. скос может наблюдаться как слева так и справа. Символическое обозначение - ах

 


 

Асимметрия является важной характеристикой для изучения свойств случайной величины. Действительно, пусть случайной величиной является заработная плата сотрудников за некоторый промежуток времени, пусть на трех предприятиях средние заработные платы одинаковые: M(x1)=М(х2)=M(х3); но пусть ; Это значит, что на втором предприятии сотрудники чаще всего получают зарплату ниже средней, на третьем предприятии - выше средней, а на первом равновероятно получить заработную плату как меньше, так и больше средней.

Асимметрия вычисляется как отношение математического ожидания куба отклонения случайной величины от своего математического ожидания к среднему квадратическому отклонению, возведенному в куб.

Значение М(х - М(х))3 - называется центральным моментом третьего порядка.

Замечание. Для характеристики асимметрии вполне достаточно вычислить М(х-М(х))3, но эта величина дает кубические единицы измерения, что неудобно в практике. Путем деления на σ 3 достигается безразмерность числа характеризующего наличие асимметрии.

Причем, если аx< 0, т.е. когда М(х-М(х))3< 0, то скос наблюдается справа,

если ах> 0, т.е. когда М(х - М(х))3 > 0, то скос наблюдается слеза., если ax=0, т.е. когда М(х-М(х))3> 0, то распределение симметрическое.

Если случайная величина дискретная, то

Если случайная величина непрерывная, то

Определение 2. Говорят, что в распределении случайной величины наблюдается эксцесс (отклонение от нормы), если вероятности значений случайной величины близких к центру распределения существенно отличаются от соответствующих вероятностей в распределении, принятом за стандарт, норму.

Символическое обозначение эксцесса – еx

Эксцесс характеризует форму вершины распределения случайной величины. Форма может пологой; островершинной либо нормальной.


Распределение, принятое за стандарт как бы гарантирует некоторую " правильность" отклонения отдельных значений случайной величины от среднего, центрального. При пологом распределении эти отклонения мало отличаются друг от друга, при островершинном распределении эти отличия наиболее резкие.

Данную особенность случайной величины можно обнаружить путем вычисления числовой характеристики называемой эксцессом.

Эксцесс ех вычисляется как разность отношения математического ожидания четвертой степени отклонения случайной величины от математического ожидания к среднему квадратическому отклонению в четвертой степени и числа 3.

где М(х-М(х))4 - момент четвертого порядка,

σ - среднее квадратическое отклонение.

Для распределения, принятого за стандарт, отношение

 

поэтому ех > 0, если распределение островершинно,

ех < 0, если пологое,

ех = 0, если распределение удовлетворяет стандарту.

Пусть случайной величиной является заработная плата, тогда в случае, если эксцесс отрицателен, т.е. распределение пологое, то это означает, что почти все сотрудники получают заработную плату близкую к средней. В случае если ех > 0, то лишь малая часть сотрудников получает заработную плату близкую к средней, у большинства же зарплата намного меньше средней.

Задача №1. Вычислить ах и ех дискретной случайной величины

 

X/ хi 0 0 1 1 3 3 5 5 7 7
Р/ pi 0, 3 0, 3 0, 1 0, 1 0, 3 0, 3 0, 2 0, 2 0, 1 0, 1

 

Решение. Из решения предыдущего задания известно

М(х) = 2, 7;


Ответ: Распределение имеет правосторонний скос и является пологим

Задача №2. Вычислить ах и ех непрерывной случайной величины.

0; если х< 0

f(x)=
; если 0≤ x< 3

0; если х≥ 3

Решение. Воспользуемся результатами решения Примера №2 (стр.16-17)

M(x)=2;

Ответ: Распределение имеет левосторонний скос и является пологим.

 






© 2023 :: MyLektsii.ru :: Мои Лекции
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав.
Копирование текстов разрешено только с указанием индексируемой ссылки на источник.