Примеры случайных величин

РАЗДЕЛ I. КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

Понятие случайной величины

Определение 1. Случайной величиной называется такая переменная величина, которая в результате испытания со случайным исходом принимает то или иное значение из множества всех возможных значений.

Случайные величины обозначаются заглавными буквами конца латинского алфавита X, У, Z, а их значения обозначаются соответственно малыми буквами х, у, z.

Случайные величины бывают двух основных видов: дискретные и непрерывные.

Определение 2. Дискретной случайной величиной называется такая случайная величина, значения которой конечно или счетно, т.е. её значения можно пронумеровать. В противном случае случайная величина называется непрерывной.

Значения дискретной случайной величины изолированы друг от друга, значения непрерывной случайной величины сплошь занимают некоторый промежуток.

Примеры случайных величин

№1. Испытание - бросание игральной кости. Случайные исходы испытания - число выпавших очков (1, 2, 3, 4, 5, 6). В этом случае случайной величиной X является число выпавших очков. Множество всех значений можно перенумеровать:

х₁ = 1; х₂ = 2; х₃ = 3; х₄ = 4; х₅ = 5; х₆ = 6.

х - дискретная случайная величина.

№2. Испытание - ведется отбор изделий из множества изделий различного качества до первого появления изделия высокого качества. В этом случае случайной величиной У является число проб, которое нужно произвести до появления изделия высокого качества. Множество всех возможных значений бесконечно,

у₁ =1; у₂ = 2; у₃=3; …; у_n=n…

у - дискретная случайная величина.

№3. Испытание - время работы двигателя. Случайной величиной Т является время работы двигателя до первого отказа. Множеством значений Т являются различные промежутки: [0; t₁]; [0; t₂];...; [0; t₃];...

Случайная величина Т - непрерывная, её значения .

№4. Испытание - измерение длины ступни наугад взятого человека. Случайной величиной является Z - длина ступни. Множество всех возможных значений теоретически .

Z - непрерывная случайная величина. Для того, чтобы описать, задать случайную величину нужно знать не только множество значений, которое она принимает, но и вероятности с которыми принимаются те или иные значения или промежутки значений.

Соотношение, указывающее на то, как значения вероятности (0 ≤ Р ≤ 1) распределяются между значениями случайной величины называется законом распределения.

Законы распределения случайной величины могут быть различными, но записываются они, как правило, тремя способами аналитической записи.

Дискретная случайная величина, как правило, задается в виде ряда распределения. Непрерывная - в виде f(x) - функции плотности распределения и в виде функции распределения F(x) может задаваться как дискретная так и непрерывная случайная величина.

Определение 3. Ряд распределения дискретной случайной величины - это таблица устанавливающая связь между вероятностью и каждым, любым значением случайной величины.

хi	x1	x2	…	xn
pi	p1	p2	…	pn
где

если множество значений дискретной случайной величины конечно.

или

хi	x1	x2	…	xn	...
pi	p1	p2	…	pn	…
где

если множество значений дискретной случайной величины бесконечно.

Определение 4. Функция распределения F(x) - это функция, устанавли­вающая связь между вероятностью и промежутком значений случайной величины от до х, , где х - текущее, любое значение случайной величины.

Функция F(x) характеризует вероятность того, что случайная величина X примет значение меньшее, чем некоторое значение х (т.е, попадет левее х).

Если случайная величина принимает любые значения от до то тот факт, что вероятность (0 ≤ Р ≤ 1) распределяется между промежутками значений ] ; х [, означает, что F() = 0; F() = 1. Если значения случайной величины сосредоточены в некотором промежутке [ a; b ], то тот факт, что вероятность распределяется между промежутками вида ] ; х[, где х [ а; b ] означает, что

F (a) =P(X< a) =0 и F (b) =P(X< b) =1

Отметим, что, если X - дискретная случайная величина, то график у = F(x) -дискретная прерывная линия, если X - непрерывная, то и график у = F(x) изображается в виде непрерывной линии.

Пример №1. Пусть Х - дискретная случайная величина, заданная рядом распределения:

Задать данную случайную величину с помощью функции распределения, вычислить вероятность попадания случайной величины научасток [1, 7].

Решение. По определению F(x) = Р (X < х), где х < 0; 0 ≤ х < 1; 3≤ х< 5; 5≤ х< 7; 7≤ х< 9; 9≥ х. Тогда

0; если х< 0

0, 2; если 0≤ х< 1

0, 2+0, 1+0, 2=0, 5 если 3≤ х< 5

0, 2+0, 1+0, 2+0, 3=0, 8 если 5≤ х< 7

0, 2+0, 1+0, 2+0, 3+0, 1=0, 9 если 7≤ х< 9

0, 2+0, 1+0, 2+0, 3+0, 1+0, 1=1 если х≥ 9

Отметим, что F(a)= F(0)=0; F(b)= F(9)= 1

График y =F(x) имеет вид:

Найдем P(1< x< 7)

Известно, что P(α < x< β)=F(β)-F(α),

Тогда P(1< x7)=F(7)-F(1)=0, 8-0, 2=0, 6

Определение №5.

Функция плотности распределения у=f(x) - это функция, устанавливающая связь между вероятностью, приходящейся на как угодно малый промежуток значений случайной величины, к величине этого промежутка:

,

где dP - элемент вероятности (0 ≤ Р ≤ 1),

dx - величина промежутка.

Так как F(x) = Р (Х < х), то f(x) = F' (х)

Действительно: dP(X < х) = dF(x) = F'(x)dx,

но

На основании того, что f(x)=F’(x), зная график функции y=F(x) можно графически изобразить и функцию y=f(x).

Если известна функция плотности распределения у=f(х), то функция распределения у=F(x) находится по формуле . Действительно:

и

тогда итак,

Замечание. Функцию F(x) часто называют интегральной функцией распределения, a f(x) - дифференциальной.

Вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет промежуток значений от α до β (попадает в интервал [ α; β ] находится по формуле

Если значения случайной величины сосредоточены в промежутке [ a; b],

то

Если на всей числовой оси, то

Пример №2. Найти у = f(x) и Р(0 < х < 5),

Aх²; при 0≤ x< 7

1; при х≥ 7

Построить графики у = f(x) и у = F(x)

Решение 1. Найдем неизвестный коэффициент А из условия F(b) = 1, если x Є [а; b]. В данном случае [a; b] это [0; 7], следовательно F(7)=1, т.е.

А(7)² =1; А49=1; А=1/49.

0; при х< 0

при 0 ≤ х < 7

1; при х ≥ 7

2. Известно, что f(x)= F^/(x). Если х< 0, то F(x)= 0 f(x)=F^/(x)=(0)^/=0.

Если 0≤ х< 7, то

Если х≥ 7, то

0; при х < 0

при 0 ≤ х < 7

1; при х ≥ 7

Найдем P(1< x< 7)=F(7)-F(x)=0, 8-0, 2=0, 6

Найдем Р(0 < х < 5).

Известно, что или Р (α < х < β) = F(b)-F(a)

или

Пример №3.

Найти у = F(x), P(0 < х < 5)

0; при х< 0

0; при х≥ 7

Решение. Найдем А из условия

0; при х< 0

1; при х≥ 7

Найдем F(x) из условия

Если x< 0, то

Если 0≤ х< 7, то

Если х≥ 7, то

0; при х< 0

1; при х≥ 7

Найдем P(0< x< 5)=F(5)-F(0)

P(0< x< 5)=

Замечание: Для закрепления данных понятий рекомендуется самостоятельно выполнить аналогичные задания из раздела

«ВАРИАНТЫ ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ»