Прямая засечка.

Для решения прямой засечки, заключающейся в определении координат третьего пункта по координатам двух исходных пунктов и измеренным при них углам, предложено много различных формул. Рассмотрим некоторые их них.

а) Формулы Юнга

Рис. 2.20.

Даны координаты точек А, B, C (рис. 2.20). Измерены углы β 1, β 2, β 1/, β 2/. Требуется определить координаты точки P (x, y). С выводом формул Юнга следует ознакомиться по учебнику [1, §161]. Если встать между исходными пунктами и смотреть на определяемый пункт P, то пункт А будет левым, а В – правым.

Условимся обозначать соответствующими индексами координаты исходных пунктов и измеренные углы. Тогда формулам Юнга можно придать следующий вид:

(14)

(15)

где Λ и П – значения углов при левом и правом пунктах (Λ = b ₁, П = b ₂).

В целях контроля находят угол γ =180⁰– b ₁ – b ₂, а затем по координатам пункта В (левый) и координатам пункта Р (правый) по формулам (14) и (15) вычисляют координаты пункта А, которые должны совпадать с заданными.

Для полного контроля полевых измерений и выписки исходных данных нужно решить, задачу, используя координаты точек В и C.

Расхождение между абсциссами и ординатами при первом и втором решении должны удовлетворять условию

(16)

где М_r – среднее квадратическое расхождение в положении пункта Р из двух решений.

В свою очередь,

(17)

где М₁ и М₂ – средние квадратические ошибки положения пункта Р из первого и второго решения.

Средняя квадратические ошибки М положения пункта Р, определяемого прямой засечкой, вычисляется по формуле

(18)

где m – средняя квадратическая ошибка измерения углов;

s₁ и s₂ – расстояние от исходных пунктов до определяемого (можно вычислить по координатам точек);

g – угол засечки.

Под величиной М понимается выражение

(19)

где m_x и m_y – средние квадратические ошибки по осям координат.

Если расхождение r окажется допустимым, то за окончательное значение координат пункта Р берут среднее арифметическое, которое будет иметь ошибку

(20)

б) Формулы Гаусса.

При определении точки прямой засечкой может не быть видимости между смежными точками А, В и С. В таком случае целесообразно пользоваться формулами Гаусса, в которые входят дирекционные углы направлений с данных пунктов на определяемый (рис. 2.21).

Рис. 2.21.

Известны координаты точек А, B, C. Измерены углы 1, 2, 3. Требуется определить координаты точки P (X, Y). По измеренным углам и дирекционным углам направлений на другие исходные пункты, находим дирекционные углы направлений на определяемую точку α 1, α 2 и α 3.

Запишем соответствие

откуда

(21)

Аналогично получим

(22)

Найдем разность

Отсюда

(23)

Вместо (21) и (22) можно записать

(24)

(25)

Нахождение ординат по двум формулам (24) и (25) позволяет проконтролировать вычисления. Таким образом, формулы (23), (24) и (25) – формулы Гаусса для определения координат.

Для контроля правильности полевых измерений вычисляют координаты точки Р вторично, используя другую пару исходных пунктов В и С и соответствующие дирекционные углы.