Студопедия

Главная страница Случайная страница

Разделы сайта

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






Понятие о логике высказываний






Современная символическая логика для анализа дедуктивных рассуждений строит особые логические системы; одна из них называется логикой высказываний или пропозициональной логикой, другая — логикой предикатов. Рассмотрим кратко принципы построения логики высказываний.

Логика высказываний — это логическая система, которая анализирует процессы рассуждения, опираясь на истинностные характеристики логических связок и отвлекаясь от внутренней структуры суждений.

Язык логики высказываний включает: алфавит, определение правильно выстроенных выражений, интерпретацию.

Алфавит логики высказываний состоит из следующих символов.

1) Символы для высказываний: р, q, r... (пропозициональные переменные).

2) Символы для логических связок: — конъюнкция (союз «и»);

v — дизъюнкция (союз «или»);

— импликация (союз «если..., то...»);

— эквивалентность (союз «если и только если..., то...»);.

l— отрицание («неверно, что...»).

3)Технические знаки (,) — скобки.

Допустимые в логике высказываний выражения, называемые правильно построенными формулами, или сокращенно ППФ, вводятся следующим определением:

1. Всякая пропозициональная переменная — р, q, г... — является ППФ.

2. Если А и ВППФ (А и В — символы метаязыка для любых формул), то выражения — А В, A v В, А В, А В, l А — также являются ППФ.

3. Все другие выражения, помимо предусмотренных п. 1 и 2, не являются ППФ языка логики высказываний.

Логика высказываний может строиться табличным методом или как исчисление, т.е. как система, позволяющая получать по правилам вывода из одних формул другие.

Табличное построение предполагает семантические определения пропозициональных связок в виде матриц, показывающих зависимость истинного значения сложных формул от значений их составляющих простых формул. Если А и В простые формулы, то истинное значение построенных с помощью логических связок формул может быть представлено матричным способом — в виде таблицы (см. рис. 36).

Среди правильно построенных формул в зависимости от их истинностного значения различают т ождественно истинные, тождественно ложные и выполнимые формулы.

Тождественно истинными называют формулы, принимающие значения истины при любых — истинных или ложных — значениях составляющих их пропозициональных переменных. Такие формулы представляют собой законы логики.

Тождественно ложными называют формулы, принимающие значение ложности при любых — истинных или ложных — значениях пропозициональных переменных.

Выполненными называют формулы, которые могут принимать значения истинности или ложности в зависимости от наборов значений составляющих их пропозициональных переменных.

Табличное построение предполагает определение логических отношений между формулами. Существенное значение для анализа рассуждений имеет отношение логического следования (символ ), которое определяется следующим образом. Из A1,..., An как посылок логически следует В как заключение, если при истинности каждого A1,..., An истинным является и В. В языке-объекте отношение следования адекватно выражается импликацией. Значит, если A1,..., An - B, то формула, представляющая собой импликацию вида (A1 А2 ... Аn) В, должна быть тождественной истинной.

Табличное построение логики высказываний позволяет определять логические отношения между высказываниями (см. гл. V § 4) и проверять правильность умозаключений, используя приведенный выше критерий. В качестве примера предлагаем провести табличным способом проверку правильности рассуждения формулы q) (lq lр). Заменив знак логического следования между посылкой и заключением на импликацию и построив таблицу для полученной формулы, видим, что она является тождественно истинной. Значит, рассуждение является правильным.

Если в рассуждении содержится более трех переменных, то строить полную таблицу для проверки его правильности затруднительно и тогда используют сокращенный метод проверки, рассуждая от противного. Поскольку при правильном рассуждении формула вида (A1 ... Аn) В должна быть тождественно истинной, посмотрим, не может ли она при каком-то наборе значений переменных оказаться ложной. Допустим, что может. Если из этого допущения получим какое-нибудь противоречие, то такое допущение будет неверным, а проверяемое рассуждение — правильным. Если же из допущения не получаем противоречия, то обнаружим набор значений переменных, при котором формула ложна, т.е. тот набор, который опровергает проверяемое рассуждение.

 

Футбол

Четыре футбольных команды: итальянская команда «Милан», испанская – «Реал», российская – «Зенит», английская – «Челси» встретились в групповом этапе лиги чемпионов по футболу. Их тренировали тренеры из этих же четырех стран: итальянец Антонио, испанец Родриго, русский Николай, англичанин Джон. Известно, что национальность у всех четырех тренеров не совпадала с национальностью команд. Требуется определить тренера каждой команды, если известно:
а) Зенит не тренируется у Джона и Антонио.
б) Милан обещал никогда не брать Джона главным тренером.
Решение.
Решая задачу, мы заведомо знаем, что у каждой команды только один тренер.
Чтобы решить задачу табличным способом, нужно знать следующие правила:
1.В каждой строке и в каждом столбце таблицы может стоять только один знак соответствия (например «+»).
2.Если в строке (или столбце) все «места», кроме одного, заняты элементарным запретом (знак несоответствия, например «-»), то на свободное место нужно поставить знак «+»; если в строке (или столбце) уже есть знак «+», то все остальные места должны быть заняты знаком «-».
Таким образом, решение будет доведено до конца, когда мы сумеем разместить по одному плюсу в каждом ряду и колонке, обозначив таким образом, тренеров всех четырех команд.
А теперь приступаем к решению задачи.
Нам известно, что ни у одной из команд национальность тренера и команды не совпадали, а также, что «Зенит» не тренируется у Джона и Антонио, значит у этой команды тренер не Джон и не Антонио; а «Милан» обещал никогда не брать Джона тренером, значит у команды «Милан» тренер не Джон. Если проставить соответствующие минусы, то таблица будет выглядеть так:

 

Команда Италия – «Милан» Испания – «Реал» Россия – «Зенит» Англия – «Челси»
Тренер
Итальянец Антонио -   -  
Испанец Родриго   -    
Русский Николай     -  
Англичанин Джон -   - -


Таким образом, становится ясно, что у «Зенита» тренер Родриго (методом исключения). Поставим «+» напротив Родриго в колонке «Зенит» и заполним свободные клетки в его ряду минусами:

 

Команда Италия – «Милан» Испания – «Реал» Россия – «Зенит» Англия – «Челси»
Тренер
Итальянец Антонио -   -  
Испанец Родриго - - + -
Русский Николай     -  
Англичанин Джон -   - -


Теперь можно сделать вывод, что тренер «Милана» – Николай. Поставим «+» напротив Николая и заполним свободные клетки в его ряду минусами. Теперь видно, что «Челси» тренирует Антонио, а «Реал» - Джон.
Ответ. Российская команда «Зенит» тренируется у испанца Родриго; итальянская команда «Милан» тренируется у русского Николая; английская команда «Челси» тренируется у итальянца Антонио; испанская команда «Реал» тренируется у англичанина Марка.






© 2023 :: MyLektsii.ru :: Мои Лекции
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав.
Копирование текстов разрешено только с указанием индексируемой ссылки на источник.