Формулы различных видов степенных средних

Значе-ние k	Наименование средней	Формула средней
простая	взвешенная
− 1	Гармоническая
	Геометрическая
	Арифметическая
	Квадратическая

Средняя арифметическая и средняя гармоническая – наиболее распространенные виды средней, получившие широкое применение в плановых расчетах, при расчете общей средней из средних групповых, а так же выявления взаимосвязей между признаками с помощью группировок.

1) Под средней арифметической понимается такое значение признака, которое имела бы каждая единица совокупности, если бы общий итог всех значений признака был бы распределен равномерно между всеми единицами совокупности. В общем случае вычисление сводится к суммированию всех значений признака и деления суммы на общее количество единиц совокупности.

Например, 5 рабочих изготовляют детали: первый – 5 деталей, второй – 7, третий – 4, четвертый- 10, пятый – 12. Тогда средняя выработка на одного рабочего: деталей.

2) Средняя арифметическая взвешенная используется, когда значения вариант встречаются несколько раз.

Например: возраст студентов в группе: 18 лет – 2 студента, 19 лет – 11, 20 лет – 5, 21 год – 1, 22 года – 1студент. Тогда средний возраст студентов в группе: года.

3) Часто при проведений статистических исследований приходится вычислять средние величины по данным вариационных рядов.

а) если ряд является дискретным, то для вычисления средней значения вариантов умножают на соответствующие частоты, эту сумму делят на сумму частот;

б) для интервального вариационного ряда для каждой группы находится среднее значение интервала . Эти средние значения и будут новыми значениями вариантов, подлежащих усреднению.

в) для моментного ряда с равными интервалами расчет среднего производится по формуле средней хронологической: .

4) Средняя гармоническая.

а) если известны численные значения числителя логической формулы, а значения знаменателя не известны, но могут быть найдены как частное деления одного показателя на другой, то средняя величина вычисляется по формуле средней гармонической взвешенной.

Например, автомобиль прошел первые 210 км пути со скоростью 70 км/ч, а оставшиеся 150 км со скоростью 75 км/ч. Определить среднюю скорость автомобиля.

Среднюю применять нельзя, т.к. варианты , , а весы - соответственно отрезки пути, но тогда не имеют смысла ни физического, ни экономического. Смысл имеют частные от деления отрезков пути на соответствующие скорости , т.е. затраты времени на прохождение отдельных участков пути . Если отрезки пути обозначить , путь , а время, затраченное на весь путь , тогда средняя скорость . В нашем примере км/ч.

б) если веса всех вариантов равны, то вместо взвешенной получаем простую среднюю гармоническую = = .

5. Средняя геометрическая – используется при вычислении среднего коэффициента роста (темпа) в рядах динамики, когда есть несколько (n) цепных коэффициентов роста. Если средние коэффициенты роста относятся к одинаковым промежуткам времени, то средняя геометрическая простая характеризует средний коэффициент роста . Если средние коэффициенты роста относятся к периодам различной продолжительности, то общий средний коэффициент роста за весь период определяется по формуле средней геометрической взвешенной .

Структурные средние.

Структурные средние незаменимы при решении ряда практических задач.

Ранжированный ряд – ряд расположенный в порядке возрастания (убывания) значений признака.

Мода – значение признака, который наиболее часто встречается в совокупности (статистическом ряду).

В случае интервального ряда с равными интервалами, модальным интервалом считается интервал с наибольшей частотой, при неравных интервалах – с наибольшей плотностью.

Для равных интервалов: ,

Где - нижняя граница модального интервала,

- величина модального интервала,

- частота модального интервала,

- частота предмодального интервала,

- частота постмодального интервала.

Для неравных интервалов: ,

где - нижняя граница модального интервала,

,

– границы трех интервалов, полученные после приведения нижней границы модального интервала к нулю (вычитанием ее величины из всех границ интервалов, при этом - нижняя граница предмодального интервала, - верхняя граница модального интервала, - верхняя граница постмодального интервала, , частоты этих трех интервалов.

- относительная частота, относительная плотность (где - интервальная разность).

Медиана – значение признака, который лежит в середине ранжированного ряда и делит этот ряд на две равные по численности части.

Для определения медианы сначала определяют ее место в ряду, используя формулу , где – число членов ряда.

Если ряд состоит из четного числа членов, то за медиану условно принимают среднюю арифметическую двух серединных.

При исчислении медианы интервального ряда, сначала находят интервал, содержащий медиану (медианный интервал).

Медианному интервалу соответствует первый из интервалов, для которого сумма накопленных частот превышает половину общей совокупности наблюдений.

Внутри найденного интервала расчет медианы производится по формуле:

, где

- нижняя граница медианного интервала,

- величина интервала разбиения,

- накопленная частота интервала, предшествующего медианному,

- число наблюдений,

- частота медианного интервала.

Медиана делит вариационный ряд пополам по частотам. Определяют еще квартили, которые делят вариационный ряд на 4 равновеликие по вероятности части и децили – на 10 равновеликих частей.

Применяется мода при экспертных оценках, при определении наиболее ходовых размеров обуви, одежды, что учитывается при производстве.

Медиана используется при статистическом контроле качества продукции и технологического процесса на промышленных предприятиях, при изучении рапределения семей по величине дохода и т.д.

Пример.

, ,

.