Задание 2.6. Нормальный закон

Пример 2.6.1. Случайная величина X распределена по нормаль­ному зако­ну. Математическое ожидание и среднее квадратическое от­клонение этой величины соответственно равны 30 и 10. Найти вероят­ность то­го, что X примет значение, принадлежащее интервалу (10, 50).

Решение. Воспользуемся формулой .

В нашем случае, a =10, b =50, σ =10, μ =30. P(10< x < 50) = = 2Ф(2). Из таблицы находим Ф(2) = 0, 4772 и окончательно имеем P(10< x < 50) = 2·0, 4772 = 0, 9544.

2.6.1. Найти вероятность попадания в заданный интервал [a, b] зна­чения нормально распределенной случайной величины X, если из­вестно её математическое ожидание M[X] и дисперсия D[X].

Вар.	M [ X ]	D [ X ]		b

2.6.2.

1. Рост мужчины является случайной величиной, распределенной по нормальному закону с математическим ожиданием, равным 170 см, и дисперсией, равной 49 см². Найти вероятность того, что трое наугад выбранных людей будут иметь рост от 170 до 175 см.

2. Рост лиц призывного возраста предполагается нормально распределенным с параметрами m = 172см и σ = 6см. Определить про­цент лиц - потенциальных танкистов (рост меньше 165см).

3. С.в. Y распределена по нормальному закону с математиче­ским ожиданием, равным единице, и средним квадратическим отклоне­нием, равным двум. Пусть X =3 Y. Найти вероятности , , , . Написать функции плотности и распределения для X и построить их примерные графики. Как выглядит для с.в. X правило «трех сигм»?

4. Автомат штампует детали. Контролируется длина х детали, которая распределена нормально, с математическим ожиданием 50 мм. Фактически длина детали не менее 32 мм и не более 68 мм. Найти веро­ятность того, что длина наудачу взятой детали: а) меньше 55 мм; б) лежит в интервале (34; 40).

5. Рост мужчин определенной возрастной группы распреде­лен нормально с математическим ожиданием а=170 и среднеквадратиче­ским отклонением s=4. Какую долю костюмов 3-го роста следует преду­смотреть в общем объеме производства для данной возрастной группы, если 3-й рост определяется следующими пределами: 170-176

6. Автоматически фасуют сахар в пакеты по 1 кг. Реальный вес пакета X - случайная величина, распределенная по нормальному за­кону со средним квадратичным отклонением σ =5 г. Куплено 3 пакета сахара. Найти вероятность того, что хотя бы один из пакетов имеет от­клонение от номинального веса не более 2 г

7. Случайная величина распределена нормально с математи­ческим ожиданием 10. Вероятность попадания X в промежуток [0; 20] равна 0, 6. Найти вероятность попадания X в промежуток [0; 10].

8. Автомат штампует детали. Контролируется длина детали, которая распределена нормально с математическим ожиданием (проект­ная длина), равным 50 мм. Среднее квадратическое отклонение равно 3, 6 мм. Найти вероятность того, что отклонение длины изготовленной де­тали от проектной по абсолютной величине не превзойдет 5 мм.

9. Валик, изготовленный автоматом, считается стандартным, если отклонение его диаметра от проектного размера не превышает 2 мм. Случайные отклонения диаметров валиков подчиняются нормаль­ному закону со средним квадратичным отклонением 1, 6 мм и математи­ческим ожиданием, равным 0. Сколько стандартных валиков (в процен­тах) изготавливает автомат?

10. Рассеивание снарядов по дальности при стрельбе подчи­нено нормальному закону со среднеквадратичным отклонением σ =20 м. Определить вероятность разрушения блиндажа одним выстрелом, если перелет или недолет должны составить не более a =15 м

11. Дальность до объекта определяется дальномером, средняя квадратичная ошибка которого σ =10, систематическая ошибка +5 м. Ошибка измерения имеет нормальное распределение. Найти вероятность того, что измеренное значение не превзойдёт истинное более чем на 15 м.

12. Диаметр изготовляемых деталей является случайной вели­чиной, распределенной по нормальному закону с параметрами a =14 и σ =3. Записать вид плотности вероятности случайной величины Z, по­строить ее график. Найти вероятность того, что размер диаметра наугад взятой для контроля детали окажется в заданном интервале .

13. Детали, выпускаемые цехом, имеют диаметры, распределенные по нормальному закону с математическим ожиданием, равным 15 см, и дисперсией, равной 0, 55 см². Найти вероятность того, что диаметр наугад взятой детали – от 12 до 18 см.

14. СВ Х распределена нормально с математическим ожиданием 80 и дисперсией 35. Вычислить вероятность попадания СВ Х в интервал (45; 95).

15. Автомат штампует детали. Контролируется длина Х, кото­рая распределена по нормальному закону с математическим ожиданием (проектная длина) a =135 мм. Фактическая длина изготовленных деталей мм. Найти вероятность того, что длина наудачу взятой де­тали меньше 136 мм. Какое отклонение длины детали от a можно гаран­тировать с вероятностью 0, 96? В каких пределах с вероятностью 0, 9973 будут заключены длины изготовленных деталей?