Решение. 1. Выбирается средний элемент массива и сравнивается с заданным числом b.

1. Выбирается средний элемент массива и сравнивается с заданным числом b.

После чего могут представиться два возможных случая.

Случай 1. Выбранный средний элемент меньше числа b, тогда нет смысла рассматривать левую часть массива (там равного элемента уже точно не будет), а остается искать равный элемент среди второй, правой половины элементов.

Случай 2. Выбранный средний элемент больше или равен заданному числу b и, тогда нет смысла рассматривать правую часть массива, а поиск продолжается среди элементов левой части.

Таким образом, сразу сокращается число испытаний вдвое.

2. С той половиной массива, в которой установлено, что может быть равный элемент, проделывается та же процедура деления.

3. Процесс такого деления продолжается. Наконец наступает такой момент, что в выбранной части массива остается один элемент (т.е. номера элементов слева и справа станут равными), тогда он является искомым, либо (если он не равен заданному числу) такого элемента вообще нет в массиве.

Рассмотрим несколько частных примеров, чтобы уразуметь математику этого вопроса.

1. Пусть задан массив из 10 упорядоченных по неубыванию чисел:

23 34 45 48 56 63 67 72 78 89

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Надо найти элемент этого массива, равный числу 78.

Пусть p - номер элемента левой границы массива, q - номер элемента правой границы массива, s - номер среднего элемента.

Устанавливаем средний элемент. Им будет элемент под номером (знак " \" - знак целочисленного деления), т. е. 56.

Сравниваем этот элемент с числом 78: 56 < 78.

Значит искомый элемент находится справа от 56.

Рассматриваем правую половину заданного массива, т.е. элементы, находящиеся справа от 56:

63 67 72 78 89

6 7 8 9 10

Тогда, p = 6, q = 10.

Выбираем и в нём средний элемент. Им будет элемент под номером

s = (p + q)\2 = (6 + 10)=8, равный 72.

Сравниваем: 72 < 78

Значит, снова искомый элемент будет находится справа от 72, т.е. в следующей части массива:

78 89

9 10

p = 9, q = 10.

Находим среди них средний элемент. Им будет элемент под номером

s = (p + q)\2 = (9 + 10)\2 = 9.

Сравниваем: 78 < 78.

Условие не выполняется. Значит надо брать элементы массива слева от числа 78.

Тогда, p = 9, q = 9. Номера левой и правой границ стали равны, цикл заканчивается, искомым элементом будет элемент под номером 9, равный 78.

В самом деле: 78 = 78.

Еще один пример. Задан массив из 15 элементов:

7 9 11 12 15 18 20 24 34 42 45 67 78 89 98

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Надо найти элемент массива, равный числу 9.

p = 1, q = 15, s = (p + q)\2 = (1 + 15)\2 = 8.

Средним является элемент под номером 8, равный 24.

Сравниваем: 24 < 9.

Условие не выполняется, значит будем искать элемент в левой части массива, т.е. ищем его среди элементов:

7 9 11 12 15 18 20 24

1 2 3 4 5 6 7 8

p = 1, q = 8, s =(p + q)\2 = (1 + 8)\2 = 4.

Средним элементом будет элемент под номером 4, равный 12.

Сравниваем: 12 < 9.

Условие не выполняется. Снова надо рассматривать левую часть оставшихся элементов, т.е. элементы, расположенные слева от 12 (включая 12):

7 9 11 12

1 2 3 4

p = 1, q = 4, s = (p + q)\2 = (1 + 4)\2 = 2.

Средним элементом будет элемент под номером 2, равный 9.

Сравниваем: 9 < 9.

Условие не выполняется.

Рассматриваем элементы слева от 9 (включая 9):

7 9

1 2

p = 1, q = 2, s = (p + q)\2 = (1 + 2)\2 = 1.

Средним является элемент под номером 1, равный 7.

Сравниваем: 7 < 9.

Условие выполняется, значит надо рассматривать элемент справа от 7, т.е. 9.

p = 2, q = 2, p = q, цикл заканчивается, искомый элемент под номером 2, равный 9.