Энергия магнитного поля

Энергия магнитного поля, создаваемого током I в контуре с индуктивностью L, равна

.

Энергия W_t длинного соленоида, магнитное поле которого можно считать однородным и локализованным внутри объема V соленоида, равна

,

где n – число витков соленоида, приходящихся на единицу его длины.

Объемная плотность энергии магнитного поля (энергия, приходящаяся на единицу объема)

.

Энергия магнитного поля в объеме V

..

3. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

1. По проводнику, согнутому в виде квадратной рамки со стороной а =10 см, течет ток I = 5 А. Определить индукцию В магнитного поля в точке, равноудаленной от вершин квадрата на расстояние, равное его стороне.

Решение

Искомая индукция магнитного поля в

Рисунок 3 Прямоугольная рамка с током

точке А является векторной суммой индукций , создаваемых в этой точке токами, текущими в каждом из четырех проводов, являющихся сторонами квадрата. Из соображений симметрии все четыре индукции по абсолютной величине равны между собой. На рисунке 3 изображен только

один из четырех векторов , соответствующий полю, создаваемому током в проводе DC. B соответствие с правилом буравчика вектор перпендикулярен плоскости треугольника ADC. Геометрическая сумма будет направлена вдоль оси OO и равна сумме проекций всех векторов на направление этой оси, т.е. В = 4 В ₁cosa. Из рисунка следует, что cosa = , и тогда . (1)

Индукция магнитного поля, создаваемого отрезком проводника, выражается формулой

, (2)

где I – сила тока в проводнике; r – расстояние от проводника до точки, напряженность поля в которой надо определить; b₁ и b₂ - углы, образованные направлением тока в проводнике и радиус-векторами, проведенными от концов проводника к точке А.

В нашем случае b₂ = p – b₁, следовательно, cosb₂ = – cosb₁, и выражение (2) приобретает вид

. (3)

Подставляем выражение В ₁ в формулу (1):

. (4)

3aмeтив, чтo (a – длина стороны квадрата) и что , так как b₁ = 60 ° как угол равностороннего треугольника, перепишем равенство (4) в виде

. (5)

Подставим числовые значения в выражение (5) и произведем вычисления:

Тл = 1.33× 10^–5 Тл = 13.3 мкТл.

2. На проволочный виток радиусом r = 10 см, помещенный между полюсами магнита, действует максимальный механический момент М = 6, 5мкН. Сила тока в витке I = 2 А.

Определить магнитную индукцию В поля между полюсами магнита. Действием магнитного поля Земли пренебречь.

Решение

Индукцию В магнитного поля можно определить из выражения механического момента М, действующего на виток с током в магнитном поле:

М = р _m В sina, (1)

где р _m – магнитный момент витка с током; В – индукция магнитного поля; a – угол между направлением индукции магнитного поля и нормали к плоскости витка.

Если учесть, что максимальное значение механический момент принимает при (т.е. при sina = 1), а также то, что магнитный момент витка с током имеет выражение p _m = I S, то формула (1) примет вид M = I B S.

Отсюда, учитывая, что S = p r ², находим

. (2)

Подставим числовые значения в формулу (2):

Тл = 1.04× 10^–4 Тл = 104 мкТл.

3. Плоский контур радиусом R = 2 см свободно установился в однородном магнитном поле с напряженностью H = 2× 10³А/м. По контуру течет ток I = 2 А. Какую работу нужно совершить, чтобы повернуть контур на 90⁰ вокруг оси, совпадающей с диаметром?

Решение

Работа сил магнитного поля по перемещению контура с током вычисляется по формуле , где - изменение магнитного потока, пронизывающего контур.

По условию задачи в начальном положении контур свободно установился в магнитном поле. При этом момент сил, действующий на контур в магнитном поле, равен нулю (М = р _m В sinj = 0), а значит, j= 0, т.е. векторы P_m и B совпадают по направлению. Зная, что Ф = B S cos , получим магнитный поток в начальном положении рамки Ф ₁ =B S, так как cos =1.

После поворота контура на 90⁰ вокруг оси, совпадающей с диаметром, магнитный поток Ф ₂ = 0, так как cos = 0, а = 90⁰.

Работа сил магнитного поля по перемещению контура с током в магнитном поле: A = I (0 - BS) =- IBS =- I H R ², где учтено, что S= R ².

Работа отрицательна, следовательно, она совершается против магнитных сил (контур до поворота находился в состоянии устойчивого равновесия). Энергия системы после такого поворота увеличивается.

Вычисляем: A= 2× 14 × 10^-7× × 2× 10³× (2× 10^-2)² = 6, 3× 10⁶ Дж.

4. Электрон, пройдя ускоряющую разность потенциалов U =400 В, попал в однородное магнитное поле с индукцией В= 1, 5 мТ. Определить радиус кривизны траектории R и частоту n вращения электрона в магнитном поле. Вектор скорости перпендикулярен силовым линиям поля.

Решение

1. Радиус кривизны траектории электрона определим, исходя из следующих соображений: на движущийся в магнитном поле электрон действует сила Лоренца F, а действием силы тяжести можно пренебречь. Сила Лоренца перпендикулярна к вектору скорости и, следовательно, является в данном случае центростремительной силой, т. е. F = F _{ц с}. Подставляя выражения F и F _{ц с}, получим

, (1)

где е - заряд электрона; v - скорость электрона; В - индукция магнитного поля; т - масса электрона; R - радиус кривизны траектории; a – угол между направлениями вектора скорости v и вектора индукции B (в нашем случае и a = 90⁰, sina = 1). Далее из формулы (1) найдем

. (2)

Входящий в выражение (2) импульс mu может быть выражен через кинетическую энергию Т электрона

. (3)

Но кинетическая энергия электрона, прошедшего ускоряющую разность потенциалов U, определяется равенством T = eU. Подставив Т в формулу (3), получим . Выражение (2) для радиуса кривизны приобретает вид

. (4)

Подставив числовые значения в формулу (4), получим

м.

2. Для определения частоты вращения воспользуемся формулой, связывающей частоту со скоростью и радиусом

. (5)

Подставив в формулу (5) выражение (2) для радиуса кривизны, получим

.

Подставим сюда числовые значения величин и произведем вычисления:

об/с = 4, 21× 10⁷ об/с.

5. Определить индукцию и напряженность магнитного поля на оси тороида без сердечника, по обмотке которого, содержащей N = 200 витков, идет ток силой I = 5 А. Внешний диаметр тороида d ₁ = 30 см, внутренний – d ₂ = 20 см.

Решение

Для определения напряженности магнитного поля внутри тороида вычислим циркуляцию вектора вдоль силовой линии поля .

Из условия симметрии следует, что силовые линии тороида представляют собой окружности и что во всех точках силовой линии численное значение напряженности одно и то же. Поэтому в выражении для циркуляции напряженность H можно вынести за знак интеграла, а интегрирование проводить в пределах от нуля до 2p r, где r – радиус окружности, совпадающей с силовой линией, вдоль которой вычисляется циркуляция, т.е.

. (1)

С другой стороны, в соответствии с законом полного тока циркуляция вектора напряженности магнитного поля равна сумме токов, охватываемых контуром, вдоль которого вычисляется циркуляция:

. (2)

Приравняв правые части равенства (1) и (2), получим

. (3)

Силовая линия, проходящая вдоль тороида, охватывает число токов, равное числу витков тороида. Сила тока во всех витках одинакова. Поэтому формула (3) примет вид 2p r H = N I. Отсюда

. (4)

Для средней линии тороида .

Подставив выражение для r в формулу (4), найдем

. (5)

Магнитная индукция В ₀ в вакууме связана с напряженностью поля соотношением В ₀ = m₀ Н.

Следовательно, . (6)

Подставляя числовые значения в выражения (5) и (6), получим:

А/м = 1.37× 10³А/м;

Т =1.6× 10^-3 Т = 1.6 мТл.

6. В однородном магнитном поле с индукцией В = 0.1 Тл равномерно вращается рамка, содержащая N = 1000 витков. Площадь рамки S = 150 см². Рамка вращается с частотой n = 10 об/с. Определить мгновенное значение э. д.с., соответствующее углу поворота рамки в 30°.

Решение

Мгновенное значение э.д.с. индукции E_i определяется основным уравнением электромагнитной индукции Фарадея-Максвелла:

, (1)

где Y – потокосцепление.

Потокосцепление Y связано с магнитным потоком Ф соотношением

Y = N F, (2)

где N - число витков, пронизываемых магнитным потоком F.

Подставляя выражение Y в формулу (1), получим

. (3)

При вращении рамки магнитный поток F, пронизывающий рамку в момент времени t, изменяется по закону F = B S cosw t, где В – магнитная индукция; S – площадь рамки; w – круговая (или циклическая) частота; w t – мгновенное значение угла между нормалью к плоскости рамки и вектором индукции .

Подставив в формулу (3) выражение F и продифференцировав по времени, найдем мгновенное значение э.д.с. индукции: E _i = N B S w sinw t. (4)

Круговая частота w связана с числом оборотов в секунду соотношением w = 2p n. Подставляя значение w в формулу (4), получим

E _i = 2p n N B S sinw t, (5)

Подставим числовые значения в расчетную формулу (5):

E _i = 23.14× 10× 10³× 0.1× 1.5× 10^–2× 0.5В = 47.1В

7. На стержень из немагнитного материала длиной l = 50 см и сечением S = 2 см² намотан в один слой провод так, что на каждый сантиметр длины стержня приходится 20 витков. Определить энергию W магнитного поля внутри соленоида, если сила тока в обмотке I = 0, 5 А.

Решение

Энергия магнитного поля соленоида с индуктивностью L, по обмотке которого течет ток I, выражается формулой . (1)

Индуктивность соленоида в случае немагнитного сердечника зависит только от числа витков на единицу длины и от объема сердечника V

L = m₀ n ² V, (2)

где m₀ – магнитная постоянная.

Подставив в формулу (1) выражение индуктивности L, получим

. (3)

Выразим в этой формуле объем сердечника через его длину l и сечение S

. (4)

Подставим числовые значения в формулу (4) и произведем вычисления:

W = 0.5× 3.14× 10^–7× (2× 10³)²× (0.5)²× 2× 10^–4× 0.5 Дж = 1.26× 10^–4Дж = 126 мкДж.

4. КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ