Определения и свойства сходящихся последовательностей.

Лекция 9. Сходящиеся последовательности.

Определения и свойства сходящихся последовательностей.

Определение 9.1. Последовательность называется сходящейся, если существует такое число , что последовательность является бесконечно малой. При этом число а называется пределом последовательности .

В силу определения любая бесконечно малая последовательность имеет пределом 0. Запись: или при .

Определение 9.2. Последовательность называется сходящейся, если : для : при всех .

Последнее неравенство означает, что элементы x_n при лежат в интервале , который назовем -окрестностью точки а.

Определения 9.1 и 9.2 эквивалентны.

♦ Утверждение 9.1. Элемент x_n сходящейся последовательности может быть представлен в виде , где , ( – бесконечно малая последовательность).

☼ Замечание 9.1. Последовательности, не являющиеся сходящимися, называют расходящимися. ☼

☼ Замечание 9.2. Будем считать, что бесконечно большие последовательности сходятся к пределу : или . ☼

J Пример 9.1. Рассмотрим последовательность . Докажем, что .

Доказательство. По определению 2 имеем

, ; ; ;

если , то , где . Таким образом, начиная с номера , выполняется неравенство и . ■ J

♦ Теорема 9.1. Сходящиеся последовательности имеют только один предел.

Доказательство. Пусть и .Тогда , , где , – бесконечно малые последовательности. Получаем: , все элементы бесконечно малой последовательности равны . Тогда по теореме 8.5 и b = a. ■

♦ Теорема 9.2. Всякая сходящаяся последовательность является ограниченной.

Доказательство. Пусть . Фиксируем , : при , , . Тогда для n. ■

☼ Замечание 9.3. Не всякая ограниченная последовательность является сходящейся.

Например: . ☼