Лшемдік формулалар

Бұ дан бұ рың ғ ы параграфтарда оқ ылғ ан материалдар физикалық шамалардың ө лшемділігі жә не ө лшемділік формалалары туралы мә селе қ оюғ а мү мкіншілік береді.

Осығ ан дейін біз бір физикалық шаманы ө лшеу ү шін бірлік тағ айындағ анда сол шаманың бұ рыннан ө лшеу бірліктері мә лім басқ а шамалармен заң ды байланысына сү йеніп тағ айындадық, сонда тиісті формуладағ ы пропорционалдық коэффициентін бірге тең деп ұ йғ арып отырдық. Осылайша, бірліктердің белгілі системасы тағ айындалды, ол негізгі шамаларды жә не олардың ө лшеу бірліктерін бір жү йемен сайлап алуғ а байланысты болды. Мысалы, CGS системасында негізгі физикалық шамалар ретінде ұ зындық, уақ ыт жә не масса алынғ ан, олардың ө лшеу бірліктері болып, ө з ретінше сантиметр, секунд жә не грамм тағ айындалғ ан; ал басқ а негізгі шамаларды сайлап алу туралы 3-параграфта айтқ ан болатынбыз.

Негізгі физикалық шамаларды белгілі тә ртіппен сайлап алу тү рліше болуы мү мкін, солай болғ анда, туынды бірліктердің негізгі шамалардың бірліктерімен тә уелділігі қ андай деген сұ рақ туады. Негізгі шамалар ретінде ұ зындық, уақ ыт жә не масса алынғ ан системаларғ а тоқ талайық, олар ө лшенетін бірліктерді, ө з ретінше L, T жә не M ә ріптерімен белгілейік.

Егер А туынды бірлігі L ұ зындығ ы бірлігінің р-інші дә режесә не, М массасы бірлігінің г-інші дә режесіне пропорционал болып ө згерсе, онда былай деп айтылады. А бірлігінің ұ зындық бірлігіне қ атысты ө лшемділігі р, масса бірлігіне қ атысты ө лшемділігі q жә не уақ ыт бірлігіне қ атысты ө лшемділігі r болады дейді.А бірлігінің негізгі шамалар бірліктеріне осындай тә уелділігін символдық формуламен(ө лшемділік формуласымен) ө рнектеледі:

=L

Мысалы, егер белгілі бір А бірлігі ү шін ө лшемділік формуласына мына тү рде болса:

немесе, бә рібір, былай жазылса,

,

Сонда бұ л берілген А туынды бірлігі масса бірлігіне тура пропорционал жә не ұ зындық бірлігінің квадратына тура пропорционал, ал уақ ыт бірлігінің квадратына кері пропорционал болып ө згереді деген сө з болады. Мысалы, біз егер масса бірлігін 1000есе жә не уақ ыт бірлігін 60 есе ұ лғ айтсақ, сонда қ арастырылып отырғ ан А туынды бірлігі есе, яғ ни есе, ұ лғ аяды.

Егер туынды бірлік негізгі бірліктердің ешқ айсысына тіпті тә уелді болмаса, онда оның осы негізгі бірлікке қ атысты ө лшемділігі ноль деп айтылады.

Физикалық шамалардың ө лшемділігін білудің маң ызы зор, ө йткені ол ненгізгі шамалардың ө лшеу бірліктері ө згергенде берілген физикалық шаманың ө лшеу бірлігі қ алай ө згеретіндігін тез есептеп беруге мү мкіндік береді, сонымен қ атар шамалардың ө лшемділіктерін салыстыру есептің дұ рыс шығ арылуын бақ ылауғ а жағ дай жасайды. Бұ лай бақ ылау ең алдымен мынадай даусыз қ ағ идағ а негізделген: тек ө лшемділігі бірдей шамаларды ғ ана қ осуғ а, азайтуғ а жә не тең дік белгісімен жалғ астыруғ а болады.

Дұ рысында, мысалы, массаны бір ұ зындыұ пен қ осуғ а болмайды немесе бір фигураның ауданы бір кесіндінің ұ зындығ ына тең бола алады деп айтуғ а болмайды т.т.

Тағ ы айта кетейік, дә реженің кө рсеткіші тек сан ғ ана, яғ ни ө лшемділігі жоқ шама ғ ана бола алады.

Ө зімізге мә лім бір қ атар физикалық шамалардың ө лшемділігін анық тайық.

Жылдамдық тың ө лшемділігі: мына тең дігіне қ арағ анда жылдамдық бірлігі ұ зындық бірлігіне тура пропорционал жә не уақ ыт бірлігіне кері пропорционал болып ө згереді, осыдан келіп:

Ү деудуң ө лшемділігі: тең дігіне қ арағ анда ол мынадай болады:

Кү штің ө лшемділігі: мына тең дігі бойынша жә не ү деудің мә лім ө лшемділігін пайдаланғ анда:

Жұ мыстың ө лшемділігі: тең дігі бойынша, ол мынадай болады:

Энергияның да ө лшемділігі дә л осындай болады.

Қ уаттың ө лшемділігі: тең дігі бойынша, ол мынадай болады:

Алайда, ө лшеу бірліктері ұ зындық тың, уақ ыттың жә не массаның бірліктеріне тә уелді емес физикалық шамалар да бар. Мысалы, бұ рыш, ол доғ аның ұ зындығ ының радиус ұ зындығ ына қ атысымен ө лшенеді, оның барлық ү ш ненгізгі бірліктеріне қ атысты ө лшемділігі ноль болады. Бұ рыштың ө лшеу бірлігі етіп, ұ зындығ ы радиусқ а тең доғ аны керіп тұ рғ ан центрлік бұ рыш алынады; бұ рыштың бұ л ө лшеу бірлігі радиан деп аталады, ол барлық системада бірдей болады. Бірақ, радианмен қ атар бұ рышты градуспен де ө лшейді; бұ л жағ дайда бұ рыштың бірлігі етіп, ұ зындығ ы толық шең бердің ұ зындығ ының ү лесіне тең доғ аны керіп тұ рғ ан центрлік бұ рыш алынғ ан. Сондық тан бір мә нді болу ү шін ө лшемдік формуласына бұ рыш бірлігі символын да енгізуге болады. Ол символды Ф ә ріпімен белгілейміз. Жоғ арыда келтірілген шамалардың (жылдамдық тың, ү деудің, кү штің т.т.) ө лшемдік формулаларына оның енбеуі керек, ө йткені бұ л шамалардың барлығ ының бұ рышқ а қ атысты ө лшемділігі нолге тең. Егер біз бұ рыштық жылдамдығ ының ө лшемділігін жазбақ болсақ, онда бұ ғ ан Ф символын енгізуге болады, ө йткені бұ рыштық жылдамдық тың бірлігі бұ рышты ө лшеу ү шін қ андай бірлік пен пайдаланып отырмыз соғ ан байланысты болады; сонымен:

Алайда келісім бойынша ә детте ө лшемділікті ұ зындық, уақ ыт жә не масса бірліктеріне қ атысты кө рсетеді, сонда

Осылайша бұ рыштық ү деу ө лшемділігін мынағ ан тең болады:

Егер алдын ала заң дылық тың жуық тү рі мә лім болса, шамалардың ө лшемділіктерін қ арастыра отырып, кейде заң дылық тың дә л сипатын кө рсетуге болады. Мысалы, жер бетіне таяу биіктіктен еркін тү скен тастың алатын жылдамдығ ы, тү су биіктігі жә не ауырлық кү шінің ү деуі неғ ұ рлым зор болса, соғ ұ рлым зор болуы керек, деп жору табиғ и нә рсе.

Сонымен, -нің мә ні жә не дә режесіндегі жә не h-қ а роппорционал болу керек деп ұ йғ арсақ, былай жазамыз:

мұ ндағ ы -сан коэффициент. Жылдамдық тың ө лшемділігі , олай болса ө лшемділігі де осындай болуы керек. Ал, . Бұ ғ ан қ арағ анда екі ө рнекті уақ ыттың ө лшемділігі бірдей болу ү шін юолғ ан кезде де -ге тең болуы керек. Ө йткені олай болмаса ұ зындық ө лшемділіктері дә л келмейді. Осығ ан қ арағ анда тең дік белгісімен байланыстырылғ ан шамалардың ө лшемділіктері бірдей болуы керек деген талап болғ анда ғ ана орындалады, яғ ни

Шындығ ына келгенде, бір қ алыпты ү демелі қ озғ алыстың ү демелі қ озғ алыстың формуласынан мынаны табамыз: