Два метода описания движения жидкости. Расход жидкости.

Метод Лагранжа, переменные Лагранжа. Метод Эйлера, переменные Эйлера. Понятие расхода. Объемный расход. Массовый расход.

Благодаря текучести жидкой среды отсутствуют жесткие связи между ее отдельными частицами, и общий характер движения оказывается более сложным, чем характер движения твердого тела.

Понятие скорости, применительно к движению жидкости требует известной конкретизации. Так как жидкие частицы перемещаются в общем случае с разными скоростями, то употребляется термин «скорость жидкой частицы». Однако последняя представляет собой сплошную совокупность материальных точек, заполняющих некоторый малый объем, деформируемый во время движения. Поэтому приведенный термин оказывается недостаточно конкретным. Условимся под скоростью частицы понимать скорость некоторой ее точки, условно выбираемой и называемой полюсом.

В опытах наблюдать движение жидких частиц и измерять их скорости можно различными способами. Простейшим является подкрашивание частиц краской той же плотности, что и изучаемая жидкость. Наблюдения за поведением таких подкрашенных частиц показывают, что при определенных условиях, частицы могут двигаться упорядоченно, образуя слоистое или ламинарное течение. При других условиях частицы, наряду с основным движением по некоторому преимущественному направлению, перемещаются из слоя в слой, их мгновенные скорости резко изменяются по величине и направлению. Иными словами, в этом случае на упорядоченное движение частиц накладывается хаотическое или пульсационное движение, приводящее к разрушению слоистой структуры и перемешиванию слоев. Такое движение получило название турбулентного. Столь сложное движение жидкости требует специфических способов его математического описания.

Одним из таких способов является определение зависимости от времени координат точки, в которой в данный момент находится наблюдаемая жидкая частица. Эту зависимость можно выразить в координатной форме

или в векторной

Где ‑ радиус-вектор точки с координатами ; ‑ время.

Но, очевидно, для описания движения конечной массы жидкости этой зависимости недостаточно, так как в ней не содержатся параметры, выделяющие данную частицу из бесконечного множества других. В качестве таких параметров можно, например, выбрать значения декартовых прямоугольных координат той точки пространства, в которой частица находилась в начальный момент времени . Тогда положение любой частицы в произвольный момент времени будет определено зависимостями

или векторной функцией

Имея эту зависимость, можно выразить мгновенную скорость жидкой частицы в виде вектора

или в проекциях на оси координат

(6.1)

Ускорение и его проекции определяются формулами

; (6.2)

Если параметры зафиксированы, то приведенными соотношениями устанавливаются кинематические характеристики конкретной жидкой частицы, аналогично тому, как определяются соответствующие характеристики материальной точки. При изменении величин осуществляется переход от одной жидкой частицы к другой, таким образом можно охарактеризовать движение всей конечной массы жидкости. Изложенный способ описания движения жидкой среды называется методом Лагранжа, а параметры ‑ переменными Лагранжа.

Несмотря на весьма полную информацию о движении массы жидкости, которую дает этот метод, он не получил преимущественного применения в МЖиГ и употребляется только для решения некоторых специальных задач. Это связано с тем, что уравнения движения, составленные на основе метода Лагранжа, сложны и трудноразрешимы.

Наиболее широкое применение в гидромеханике находит метод Эйлера, который заключается в описании поля скоростей в пространстве, занятом движущейся жидкостью. Он основан на понятии местной скорости или скорости в точке (этим термином обозначают скорость жидкой частицы, находящейся в выбранной точке пространства в данный момент времени). В общем случае местные скорости различны в один и тот же момент времени в разных точках и наряду с этим могут изменяться во времени в каждой точке. Таким образом, если u ‑ вектор местной скорости, то в общем случае

(6.3)

или в форме проекций

где - радиус-вектор точки с координатами называемыми переменными Эйлера.

Этими функциями характеризуется поле скоростей движущейся жидкости, т. е. совокупность значений вектора и, определенного в каждой точке пространства или его части.

Если местная скорость и явно зависит от времени, т. е. изменяется с течением последнего, то движение и соответствующее ему поле скоростей называют неустановившимися или нестационарными. Если в каждой точке пространства вектор и имеет постоянное во времени значение, то движение и поле скоростей будут установившимися или стационарными. В этом случае

(6.4)

или в проекциях на оси координат

Ламинарные течения могут быть как установившимися, так и неустановившимися, но турбулентные течения, строго говоря, всегда являются неустановившимися; неупорядоченное движение частиц в турбулентном потоке создает резкие изменения местных скоростей во времени, называемые пульсациями скорости.

Рис. 6.1. Пульсации скорости в турбулентном потоке

На рис. 6.1 приведены результаты измерений местной мгновенной скорости турбулентного потока воздуха. Местная скорость изменяется во времени достаточно резко, однако ее значение колеблется около некоторого среднего. Поскольку использование в расчетах мгновенных скоростей приводит к трудностям и некоторой неопределенности, вводится понятие местной усредненной скорости

(6.5)

где — мгновенная местная скорость; - произвольный момент времени; T - период усреднения.

Способ усреднения, выраженный соотношением (6.5), не является единственно возможным, но благодаря простоте его широко применяют в МЖиГ. При этом предполагается, что операция повторного усреднения не изменяет результата, т. е.

Проекции вектора усредненной скорости

Разность векторов и называют пульсационной скоростью или просто пульсацией:

Нетрудно убедиться, что усредненное значение пульсации равно нулю:

В случае, показанном на рис. 6.1, усредненная скорость от времени не зависит. Турбулентное течение при этом условно называют, усреднено установившимся или просто установившимся. Однако возможны случаи, когда усредненная местная скорость закономерно изменяется во времени. Такое течение называют, усреднено неустановившимся. Операция усреднения для таких течений требует некоторого уточнения.

Имея в виду действительный характер движения реальных жидкостей, в дальнейшем будем считать местные скорости непрерывными дифференцируемыми функциями координат и времени, независимо от того, какое реальное течение они описывают.

Если функции (6.3) или (6.4) определены, то можно не только составить представление о характере движения массы жидкости, но и найти кинематические характеристики, необходимые для составления динамических уравнений движения.

Поскольку законы механики сформулированы применительно к материальным телам, каковыми в механике жидкости и газа являются жидкие частицы и их конечные совокупности, то необходимо уметь, пользуясь методом Эйлера, выражать ускорения a жидких частиц. В соответствии с физическим смыслом оно определяется полной производной вектора скорости по времени:

Для выражения этого ускорения в переменных Эйлера учтем, что для движущейся частицы ее координаты являются функциями времени: . Тогда проекции скорости будут сложными функциями времени:

Используя правило дифференцирования сложных функций, для проекций полного ускорения получим

(6.6)

Поскольку для движущейся частицы , , , окончательно

Для представления ускорения

в компактной форме введем оператор Гамильтона

Рассматривая величину формально как вектор с проекциями , и , представим первую формулу системы (6.6) в виде

Аналогично представим проекции и .

Учитывая, что выражение в круглой скобке имеет структуру скалярного произведения и выражая вектор ускорения в виде получим символическую форму полного ускорения жидкой частицы:

(6.7)

Как следует из выражения (6.7), ускорение складывается из двух частей. Первая - , называемая локальной производной, выражает изменение во времени вектора а в фиксированной точке пространства. Эта величина определяет местное или локальное ускорение. Вторая часть - и называется конвективной производной вектора a. Эта величина выражает изменение скорости в пространстве в данный момент времени.

В частном случае установившегося движения локальное ускорение равно нулю и, следовательно,

Полная производная в формуле (6.7) называется еще индивидуальной или субстанциональной производной.

Введем важное понятие. Выберем в жидкости замкнутый контур l (рис. 6.2) и проведем через каждую его точку линию тока. Получим трубчатую поверхность, которую называют трубкой тока. Если контур l мал, то трубку тока называют элементарной. В пределах поперечного сечения элементарной трубки тока распределение скоростей жидких частиц принимают равномерным, а сечение считают плоским. Очевидно, жидкость не может протекать через боковую поверхность трубки тока, так как на ней .

Совокупность частиц, ограниченных поверхностью элементарной трубки тока, обычно называют элементарной струйкой, а поток конечных размеров рассматривают как совокупность элементарных струек. Таким образом, мы приходим к струйной модели потока жидкости.

Если поперечное сечение потока в каждой его точке нормально к вектору скорости, то его называют живым сечением. В общем случае живые сечения криволинейны, а распределение скоростей в них неравномерно. Такие сечения существуют не для всех потоков.

Обозначим через вектор площадки любого поперечного сечения элементарной трубки тока (рис. 6.3). Составим скалярное произведение векторов u и

Рис. 6.2. Элементарная трубка тока Рис. 6.3. Схема для определения

объемного расхода

Где n - нормаль к площадке; - проекция скорости на нормаль n.

Величина будет положительной, если векторы u и n образуют острый угол, и отрицательной, если этот угол тупой.

Абсолютная величина представляет собой объем жидкости, протекшей через площадку за единицу времени. Действительно, вектор скорости можно разложить на составляющие: нормальную и касательную , к площадке. При этом только нормальная составляющая обусловливает протекание жидкости через площадку. За единицу времени протекает коли­чество жидкости объемом | | = .

В дальнейшем величину будем называть объемным расходом элементарной струйки.

Рассматривая произвольное конечное сечение площадью S реального потока жидкости, определим

как объемный расход жидкости через это сечение.

Соответственно абсолютные значения величин

называют массовым расходом элементарной струйки и массовым расходом через поверхность площадью S.