Оценка существенности нелинейной регрессии

Если нелинейное по факторным переменным уравнение регрессии с помощью метода замен можно свести к парному линейному уравнению регрессии, то на это уравнение будут распространяться все методы проверки гипотез для парной линейной зависимости.

Проверка гипотезы о значимости нелинейной регрессионной модели в целом осуществляется через F-критерий. Выдвигается основная гипотеза Но о незначимости коэффициента детерминации для нелинейных форм связи, т.е. о незначимости полученного уравнения регрессии:

Но: R²= 0.

Альтернативной является обратная гипотеза Н₁ о значимости построенного уравнения регрессии:

Н₁: R² ≠ 0.

Наблюдаемое значение F-критерия вычисляется по формуле

F_набл = R²(п - l)

( 1 -R²)(l- 1),

где п - объем выборочной совокупности; l - число оцениваемых параметров по выборочной совокупности.

Критическое значение рассматриваемого критерия F_крит вычисляется по таблице распределения Фишера в зависимости от уровня значимости α и числа степеней свободы k₁ = l- 1 и k₂ = п-l. Если наблюдаемое значение F-критерия больше критического F_набл > F_крит, то основная гипотеза отклоняется, следовательно уравнение нелинейной регрессии является значимым. Если наблюдаемое значение F-критерия меньше критического (F_набл < F_крит), то основная гипотеза принимается, и уравнение нелинейной регрессии признается незначимым.

Если существует возможность выбора между линейной и нелинейной регрессионными моделями при изучении конкретной зависимости между переменными, то предпочтение всегда отдается более простой линейной форме связи. Проверить предположение о вероятной линейной зависимости между изучаемыми переменными можно с помощью линейного коэффициента детерминации r² и индекса детерминации для нелинейных форм связи R².

Выдвигается основная гипотеза Н_о о линейной зависимости между переменными. Альтернативной является гипотеза о их нелинейной связи. Проверка этих гипотез осуществляется с помощью t-критерия Стьюдента. Наблюдаемое значение t-критерия

где - величина ошибки разности (R² - r²), вычисляемая по формуле

Критическое значение рассматриваемого критерия t_крит определяется по таблице распределения Стьюдента в зависимости от уровня значимости α и числа степеней свободы (п – l – 1 ), где l - число оцениваемых параметров β _i в регрессионной модели. Если наблюдаемое значение t-критерия больше критического (t_набл > t_крит), то основная гипотеза отклоняется и между изучаемыми переменными существует нелинейная взаимосвязь. Если наблюдаемое значение t-критерия меньше критического (t_набл < t_крит), то зависимость между переменными может быть аппроксимирована линейным регрессионным уравнением.