Система уравнений для расчета параметров осн. видов КМ

Важнейшие параметры - коэфф-ты регрессии а0, а1, …а(n).При их обосновании исп-ся 2 способа: 1)метод моментов, 2) метод наименьших квадратов(МНК).Сущность МНК в том, что нужно найти такие знач-ия а0, а1, …а(n), при кот. сумма квадратов отклонений расчётных знач-й рез-го пок-ля от фактич-го - величина мин, в идеале предел 0. Σ (Ух-Уi)^2→ min, lim→ 0. Чем < разность, тем в большей степени коэфф-ты регрессии а0, а1,..а(n) характ-ют измен-ие результ-го пок-ля. В чём выражается МНК и как рассчитывать на его основе а0, а1, …, а(n). Допустим, что мы хотим рассчитать параметры простейшей лин. однофакторн. КМ: Ух=а0+а1х. Подставим выраж-е справа в фор-лу МНК: Σ (а0+а1х-уi)^2=(а0+а1*х1-у1)^2+(а0+а1*х2-у2)^2+…+(а0+а1*хn-yn)^2. В получ-х выраж-ях неизв. явл-ся а0 и а1. Найдём их значения, взяв производные по а0 и а1, dy/da0=2(а0+а1х1-у1)+2(а0+а1х2-у2)+…+2(а0+а1хn-уn), dy/dа1=2(а0+а1х1-у1)х1+ 2(а0+а1х2-у2)х2+…+2(а0+а1хn-уn)хn. Тк лев. части=0, то сл-но и прав.=0. Тк все выражения справа имеют общ. множитель 2, то поделив на него получим тождестве-нные выраж-я. (а0+а1х1-у1)+(а0+а1х2-у2)+…+(а0+а1хn-уn)=0, (а0+а1х1-у1)х1+ (а0+а1х2-у2)х2+…+(а0+а1хn-уn)хn=0. Упростим получ. выраж-е: а0*n+а1*(х1+х2+…+хn)=у1+у2+…+уn, а0*n+а1*Σ х=Σ у,

а0*(х1+х2+…+хn)+а1*(х1^2+x2^2+…+хn^2)=у1*х1+у2*х2+…+уn*хn, а0*Σ х+а1*Σ х^2=Σ у*х. Т.о. чтобы найти а0, а1 линейной однофакторной КМ необх. решить систему ур-ний. Допустим, что модель линейная многофакторная: Ух=а0+а1*х1+а2*х2+…+аn*х*n. Необх. найти параметры а0, а1, …, аn. Запишем с-му для нахождения а0, а1, …аn на основе логики формир-я сис-мы ур-ний для лин-ой однофакторной КМ. Логика формир-ия сис-мы ур-ний для нахождения параметров а0, а1, …, аn: 1)число ур-ний на 1 больше числа факторов; 2)первое ур-ие записываем как: а0*n+все последующие коэф-ты регрессии умножая на суммы соответств. факторов = сумме у: а0*n+а1*Σ х1+а2*Σ х2+… +аn*Σ xn=Σ y 3) второе ур-ние-это первое без n умножаем на первую сумму, третье ур-ние —первое без n «*» на сумму x^2, n-ое уравнение-первое без n, умноженное на Σ х. а0*Σ х1+а1*Σ х1^2+а2*Σ х1х2+… +аn*Σ х1хn=Σ ух1; а0*Σ х2+а1*Σ х1х2+а2*Σ х2^2+…+аn*Σ хnх2=Σ ух2 ……… а0*Σ хn+ +а1*Σ х1хn+а2*Σ х2хn+…+а2*Σ хn^2=Σ ухn. Если модель нелин., то методика формир-ия сис-мы ур-ний для нахождения параметров а0, а1…аn след.: Допустим, что нелинейн. модель простейшая степенная: Ух=а0х^а1. Приводим эту модель к условию линейной, для чего логорифмируем: LgУх=Lgа0+А1Lgx, Ух'=а0'+а1х' – однофакторн. лин. КМ. Для нахождения параметров этой модели в классич. варианте Ух=а0+а1х надо было решить систему уравнений: {а0*n+a1Σ х=Σ у, а0*Σ хn+а1Σ х^2=Σ ух; В нашем сл. а0 надо заменить на а0', Ух-Ух', х-х'. { а0'n+а1Σ х'=Σ у', а0'Σ х'+а1Σ х^n=Σ у'х'; Заменим в системе уравнений а0', х', у' на исх. значения. { Lgа0n+а1Σ Lgx=Σ Lgу, Lgа0Σ Lgx+a1Σ (Lgx)^2= =Σ LgуLgx; Чтобы найти параметры а0, а1 не лин. модели необх. решить сис-му. Если модель нелин. имеет n факторов, то сис-ма ур-ний формируется по тем же принципам, как и в многофакторн. лин. модели. Возможна ситуация, когда в многоф-ой лин. модели отд-ые из факторов следует учесть как нелин. влияющие: Ух=а0+а1х1+а2х2+а3х3^к+…+аnxn, к≠ 1. В этом случае в системе ур-ний для нахождения пар-ов а0, а1, …аn вместо х3 везде запишем х3^к. Возможна ситуация, что влияние отд-го фактора в КМ будет опис-ся выраж-ем: Ух=а0+а1х1+а2х2+а3х3+аnх3^k, к=1. Влияние х3 выраж-ся ур-нием из 2 членов, тогда при записи сис-мы ур-ний для нахождения а0, …, аn каждый член выраж-ия будем считать как самост. фактор, т.е. в нашем случае сис-ма будет состоять из 4 факторов, 4-й фактор-х3^к