Главная страница Случайная страница
Разделы сайта
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Действия над комплексными числами
|
|
На множестве комплексных чисел определены те же действия, что и на множестве действительных чисел. Пусть
и 
а) Сумма и разность двух комплексных чисел определяется следующим образом:
т.е. при сложении комплексных чисел их действительные и мнимые части складываются, а при вычитании вычитаются.
Модуль суммы комплексных чисел меньше либо равен сумме модулей этих чисел:
Доказательство: принимая во внимание, что модуль комплексного числа равен длине соответствующего этому числу вектора и что одна сторона треугольника короче суммы двух других сторон, то . Причем знак будет иметь место лишь в том случае, когда векторы соответствующих комплексных чисел z1 и z2 одинаково направлены, т. е. когда аргументы этих чисел равны или отличаются на кратное 2 
.
1) фиолетовой линией обозначено z2;
2) синей линией обозначено z1;
3) красной линией обозначена разность z1 - z2;
4) черной линией обозначена сумма z1 + z2;
- это выполняется когда направления противоположны.
б) Произведение двух комплексных чисел получается по правилу умножения многочленов, учитывая, что i2 = -1:
Если комплексные числа заданы в тригонометрической форме:
(6)
Модуль произведения комплексных чисел равен произведению модулей этих чисел, а аргумент произведения равен сумме аргументов сомножителей: 
.
Доказать самостоятельно.
В показательной форме:
в) Деление комплексных чисел вводится как операция, обратная умножению:
В алгебраической форме:
Пример: Вычислить:
Пусть числа z 1 и z 2 заданы в тригонометрической форме (6). Найдём модуль и аргумент частного. По определению:
и 
.
Отсюда: 
и 
.
Модуль частного двух комплексных чисел равен частному модулей этих чисел, а аргумент частного равен разности аргументов делимого и делителя.
или 
г) Возведение комплексных чисел в натуральную степень.
Целая положительная степень комплексного числа определяется так же, как и действительного: 
.
Например: 
и т.д. В общем случае:
.
Пусть число z задано в тригонометрической форме:
Тогда 
.
Отсюда:
.
Рис. 4.
. Запишем число z =1+ i в тригонометрическом виде. Здесь 
= 
,
tg 
= 1; 
; z = 
(рис. 4).
д) Извлечение корня.
Корнем n-ой степени из комплексного числа z называется такое число w (w= 
), что wn=z.
Пусть числа z и w представлены в тригонометрической форме:
и 
Найдём ρ и q. Так как
Поэтому: ρ = 
- арифметическое значение корня из положительного числа r, а q = 
(k= 
). Т.о.
или
Значение qк, дающие существенно различные значения корня n -ой степени из z соответствуют только n значениям k (0, 1, 2, … n -1). Остальным целым k соответствуют значения qk, отличающиеся от одного из указанных значений на величину, кратную 2 π.
Проверить, например, что wn = w 0!
Таким образом, комплексное число z 
0 имеет ровно n корней степени n, получаемых из этих формул. Из формул вытекает, что все значения корня лежат на окружности радиуса ρ = и делят окружность на n равных частей.
Пример 1: Вычислить 
. Запишем число в тригонометрической форме:
Рис.5.
Пример 2: Вычислить 
. Запишем число в показательной форме:
Рис. 6.
|
|