Лекция 8

Тема: Построение планов скоростей и ускорений механизма, образованного группой Ассура 2–го класса 1–го вида.

Построение плана скоростей

Планы скоростей и ускорений механизма строятся после решения задачи о его положении, причём построение планов проводится для отдельных групп Ассура, которые образовали механизм. Вначале строится план скоростей (ускорений) группы, которая присоединена элементами своих внешних кинематических пар к ведущему звену и стойке, затем строятся планы скоростей (ускорений) второй и т.д. групп, взятых в той же последовательности, в какой они присоединяются при образовании механизма.

Рассмотрим двухкривошипный шарнирный четырёхзвенник. Данные: l_OA = 0.07 м, l_OC = 0.04 м, l_BC = 0.08 м, l_AB = 0.075 м, l_BD = 0.04, j₁ = 30°, угловая скорость кривошипа OA постоянна и равна w₁ = 15 c ^{– 1} (рис. 1).

План положения механизма

Рисунок 1

Сначала строим план заданного положения механизма. Масштаб длин принимаем равным m _l = 0.001 м /мм. Вычисляем длины отрезков, изображающие на чертеже звенья.

Для каждого положения механизма определяются скорости точек графическим методом. Вначале определяем скорость точки A, принадлежащей ведущему звену, которое вращается равномерно с постоянной угловой скоростью w₁. Скорость этой точки по модулю равна

и направлена перпендикулярно оси звена OA в сторону вращения. Отложим от произвольной точки p, называемой полюсом плана скоростей, отрезок (pa). Длину отрезка (pa) выбираем равной (OA). (pa) = (OA) = 70 мм. Вычисляем масштабный коэффициент скоростей:

Строим план скоростей для группы звеньев 2 и 3. Оба звена совершают плоскопараллельное движение. Из теоретической механики известно, что скорость любой точки B плоской фигуры геометрически складывается из скорости какой-нибудь точки A, принятой за полюс, и скорости, которую точка B получает при вращении фигуры вокруг этого полюса. В этой группе звеньев все пары вращательные. Определяем скорость точки B по следующим двум векторным уравнениям:

где - скорость точки A, нам известная; - скорость точки B при вращении звена BA вокруг оси шарнира A, по модулю равная u_BA = w₂× l_BA (w₂ – угловая скорость звена BA, которая пока нам неизвестна) и направленная перпендикулярно линии BA; – скорость точки C стойки 4 (она равна нулю, так как звено 4 неподвижно); – скорость точки B при вращении звена BC вокруг оси шарнира C, по модулю равная u_BС = w₃× l_BС (w₃ - угловая скорость звена BC, которая пока нам неизвестная) и направленная перпендикулярно линии BC.

Построение плана скоростей ведём в такой последовательности. Строим решение первого векторного уравнения, указанного выше: из точки a проводим направление скорости изображающий - линию, перпендикулярную BA. Строим решение второго векторного уравнения, указанного выше: из точки p надо было отложить скорость , но она равна нулю, поэтому точку c совмещаем с полюсом плана скоростей p; из точки c или, что то же, p проводим направление скорости - линию, перпендикулярную BC, до пересечения с линией, проведённой перпендикулярно BA, и получаем точку b - конец вектора скорости точки B. Помещаем в полюс плана точку o. Скорость точки D находим по правилу подобия: конец вектора этой скорости должен лежать на продолжении отрезка (ab). Составляем следующую пропорцию:

Определяем скорость точки B: u _B = (pb)× m_u = 128× 0.015 = 1.92 м/c.

Определяем скорость точки D: u _D = (pd)× m_u = 169× 0.015» 2.54 м/c.

Определяем угловую скорость звена AB:

План скоростей механизма

Рисунок 2

Направление угловой скорости w₂ звена AB может быть определено следующим образом. Мысленно прикладывая вектор к точке B, видим, что вращение звена 2 вокруг оси шарнира A, принятой за полюс, совпадает с направлением вращения часовой стрелки. Отмечаем нужное направление вращения на звене 2 в виде дуговой стрелки.

Определяем угловую скорость звена BC:

Направление угловой скорости w₃ звена BC определяется таким же образом, как и w₂. Мысленно прикладывая вектор к точке B, видим, что вращение звена 3 вокруг оси шарнира C, принятой за полюс, совпадает с направлением вращения часовой стрелки. Отмечаем нужное направление вращения звена 3 дуговой стрелкой.

Построение плана ускорений

Ускорения точек находятся методом плана ускорений. Вначале определяем скорость точки A, принадлежащей ведущему звену, которое вращается равномерно с постоянной угловой скоростью w₁. Полное ускорение точки A определяется по формуле Так как e₁ = 0, то тангенциальное ускорение a ^t _A = 0. Тогда и ускорение точки A легко вычисляется: a_A = w₁²× l_OA. Затем строим план ускорений для группы звеньев 2 и 3. Так как движение этих звеньев плоское и все пары вращательные, то используем известную из теоретической механики теорему: ускорение любой точки B плоской фигуры геометрически складывается из ускорения какой-нибудь точки A, принятой за полюс, и ускорения, которое точка B получает при вращении фигуры вокруг этого полюса. Этот план строится по таким двум векторным уравнениям:

где - полное ускорение точки A, равное нормальному ускорению , так как звено 1 (кривошип) вращается равномерно и угловое ускорение равно нулю, следовательно равно нулю и тангенциальное ускорение ,

a_A = a_Aⁿ = w₁²× l_OA

и направленное параллельно линии OA от точки A к точке O (к центру кривизны траектории);

- нормальное ускорение точки B во вращательном движении звена AB вокруг точки A, по модулю равное

и направленное параллельно линии AB от точки B к точке A ();

- тангенциальное ускорение точки B в том же движении звена AB, по модулю равное

a_BA ^t = e₂× l_AB

(e₂ - угловое ускорение звена AB, пока нам неизвестное) и направленное перпендикулярно линии AB;

- ускорение точки C, равное нулю, так как звено 4 неподвижно;

- нормальное ускорение точки B во вращательном движении звена BC вокруг точки C, по модулю равное

и направленное параллельно линии BC от точки B к точке C ();

- тангенциальное ускорение точки B в том же движении звена BC, по модулю равное

a_BC ^t = e₃× l_BC

(e₃ - угловое ускорение звена BC, пока нам неизвестное) и направленное перпендикулярно линии BC.

Построение плана ускорений ведём в следующей последовательности. Строим решение первого векторного уравнения, указанного выше, для чего от полюса плана p откладываем отрезок (p a), изображающий ускорение , параллельно линии OA. Длину отрезка (p a) принимаем равной 70 мм, отчего масштаб ускорений будет

От точки a откладываем отрезок (an_BA), изображающий ускорение . Длина отрезка (an_BA) вычисляется так:

Через точку n_BA проводим направление ускорения - линию, перпендикулярную линии AB. Переходим к построению решения второго векторного уравнения, указанного выше. Для этого от полюса плана p откладываем вектор ускорения , но оно равно нулю, поэтому точка c совпадает с точкой p. От точки p откладываем отрезок (p n_BC), изображающий ускорение . Длина отрезка (p n_BC) вычисляется так:

Через точку n_BC проводим направление ускорения - линию, перпендикулярную линии BC. Точка пересечения её с линией, проведённой перпендикулярно AB, даёт точку b - конец вектора ускорения точки B. Соединяем точки b и a и получаем вектор полного ускорения точки B при вращении звена AB относительно точки A, т.е. Точку o совмещаем с точкой p (полюсом плана). На этом заканчиваем построение плана ускорений механизма. Конец вектора ускорения точки D найдём по правилу подобия:

Соединив точку d с полюсом плана p, получаем отрезок (p d), изображающий абсолютное ускорение точки D.

Величины абсолютных ускорений точек B и D определяются так:

a_B = (p b)× m _a = 232× 0.225» 52 м× c ^{– 2};

a_D = (p d)× m _a = 320× 0.225 = 72 м× c ^{– 2}.

По правилу подобия найдём ускорения центров масс подвижных звеньев. Точки S ₁, S ₂ и S ₃ находятся на серединах соответствующих звеньев. На плане ускорений это будут векторы: (p s ₁), (p s ₂) и (p s ₃). Определяем абсолютные величины ускорений этих центров масс:

a_S1 = (p s ₁) × m _a = 35× 0.225» 7.9 м× c ^{– 2};

a_S2 = (p s ₂) × m _a = 194× 0.225» 44 м× c ^{– 2};

a_S3 = (p s ₃)× m _a = 116× 0.225» 26 м× c ^{– 2}.

Величина углового ускорения звена AB равна:

Направление углового ускорения e₂ звена 2 (звена AB) может быть определено следующим образом. Перенося мысленно вектор в точку B, видим из точки A, что направление e₂ совпадает с направлением вращения часовой стрелки. Обозначаем направление углового ускорения e₂ на плане положения звена 2 дуговой стрелкой.

Величина углового ускорения звена BC равна:

Направление углового ускорения e₃ звена 3 (звена BC) может быть определено таким же образом, как и e₂. Перенося мысленно вектор в точку B, видим из точки C, что направление e₃ совпадает с направлением вращения часовой стрелки. Обозначаем направление углового ускорения e₃ на плане положения звена 3 дуговой стрелкой. План ускорений механизма приведён на рис. 3.

План ускорений механизма

Рисунок 3