Динамика

Аксиомы динамики

Первая аксиома (принцип инерции)

Материальная точка находится в состоянии покоя или равномерного и прямолинейного движения, если к ней приложена уравновешенная система сил.

Это состояние называют состоянием инерции. Вывести точку из этого состояния, т.е. сообщить ей некоторое ускорение, может внешняя сила.

Всякое тело (точка) обладает инертностью. Мерой инертности является масса тела.

Массой называют количество вещества в объеме тела, в классической механике ее считают величиной постоянной. Единица измерения массы это килограмм (кг).

Вторая аксиома (второй закон Ньютона ‑ основной закон динамики).

Зависимость между силой, действующей на материальную точку, и сообщаемым ею ускорением пропорциональны и связаны следующей зависимостью:

F = та,

где т — масса точки, кг; а — ускорение точки, м/с².

Ускорение, сообщенное материальной точке силой, совпадает с направлением силы.

На все тела на Земле действует сила тяжести, она сообщает телу ускорение свободного падения, направленное к центру Земли:

G = mg,

где g = 9, 81 м/с, ускорение свободного падения.

Третья аксиома (третий закон Ньютона)

Силы взаимодействия двух тел равны по величине и направлены по одной прямой в разные стороны (рис. 8.1 ):

F 1 = F 2; F 1 = m1a1; F 2 = m 2 a 2. Откуда m 1 a 1 = m 2 a2 или . При взаимодействии ускорения обратно пропорциональны массам.

Рис. 8.1

Четвертая аксиома (закон независимости действия сил)

Каждая сила системы сил действует так, как действовала бы одна сила равная равнодействующей системы сил.

Ускорение, сообщаемое точке системой сил, равно геометрической сумме ускорений, сообщенных точке каждой силой в отдельности (рис. 8.2):

Рис. 8.2

Сила инерции

Инертность ­ способность сохранять свое состояние неизменным, это внутреннее свойство всех материальных тел.

Сила инерции ‑ это сила, возникающая при разгоне или торможении тела (материальной точки) и направленная в обратную сторону от ускорения. Величина силы инерции равна модулю произведения массы на ускорение

F _ин = | ma |.

При вращательном движении (криволинейном) возникающее ускорение принято представлять в виде двух составляющих: нормального а_п и касательного a_t. Поэтому при рассмотрении криволинейного движения могут возникнуть две составляющие силы инерции: нормальная и касательная (рис.8.3)

a = a_t + a_n ;

; a_t = ε r; ;

;

.

Рис. 8.3

Принцип кинетостатики (принцип Даламбера).

Принцип кинетостатики используют для упрощения решения ряда технических задач.

Принцип Даламбера:

Материальная точка под действием активных сил, реакций связей и силы инерции находится в равновесии:

; F_ин = ‑ - ma.

Порядок решения задач с использованием принципа Даламбера

1. Составить расчетную схему. Выбрать точку, движение которой рассматривается, приложить к ней активные силы, реакции связей, силы инерции.

2. Выбрать систему координат.

3. Выбрать способ решения задачи ‑ аналитический (составить уравнения равновесия в проекции на выбранные оси координат) или графический (составить векторное уравнение и решить его при помощи силового многоугольника).

4. Определить неизвестные величины.

Работа

Для характеристики действия силы на некотором перемещении вводят понятие «работа силы».

Работа служит мерой действия силы, работа — скалярная величина.

Работа постоянной силы на прямолинейном пути

Работа силы в общем случае численно равна произведению модуля силы на длину пройденного пути и на косинус угла между направлением силы и направлением перемещения (рис.8.4):

A = F·S cos α.

где F сила; S – перемещение; α ‑ угол между направлением силы и направлением перемещения

Единицы измерения работы: 1 Дж (джоуль) = 1 Нм; 1 кДж (килоджоуль) = 10³ Дж.

Рис. 8.4

Рассмотрим частные случаи.

1. Силы, совпадающие с направлением перемещения, называются движущими силами. Направление вектора силы совпадает с направлением перемещения (рис. 8.5).

В этом случае α = 0° (cos α = 1). Тогда A = FS > 0.

2. Силы, перпендикулярные направлению перемещения, работы не производят (рис.8.6). Сила F перпендикулярна направлению перемещения, а = 90^° (cos α = 0); A= 0.

Рис. 8.5

Рис. 8.6

3. Силы, направленные в обратную от направления перемещения сторону, называются силами сопротивления (рис.8.7).

Рис. 8.7

Сила F направлена в обратную от перемещения S сторону. В этом случае а = 180° (cos α = ‑ 1), следовательно, A = ‑ FS < 0. Движущие силы увеличивают модуль скорости, силы сопротивления уменьшают скорость.

Таким образом, работа может быть положительной и отрицательной в зависимости от направления силы и скорости.

Работа постоянной силы на криволинейном пути

Если точка М движется по дуге окружности и сила F составляет некоторый угол α с касательной к окружности (рис.8.8), то вектор силы можно разложить на две составляющие:

F = F_t + F_n.

А затем, используя принцип независимости действия сил, определим работу каждой из составляющих силы отдельно:

A (F_t) = F_t Δ Š; A (F_n) = F_n Δ Š,

где Δ Š = М ₁˘ М ₂ – пройденный путь. Δ Š = φ r.

Рис. 8.8

Нормальная составляющая силы F_n всегда направлена перпендикулярно перемещению и, следовательно, работы не производит: A(F_n)= 0.

При перемещении по дуге обе составляющие силы разворачиваются вместе с точкой М. Таким образом, касательная составляющая силы всегда совпадает по направлению с перемещением.

Будем иметь: A (F_t)= F_t φ r.

Касательную силу Ft обычно называют окружной силой.

Работа при криволинейном пути — это работа окружной силы:

A(F) = A(F_t).

Произведение окружной силы на радиус называют вращающим моментом:

М _вр = F_t r.

Работа силы, приложенной к вращающемуся телу, равна произведению вращающего момента на угол поворота:

A(F) = M _вр φ.

Работа равнодействующей силы

Работа равнодействующей на некотором перемещении равна алгебраической сумме работ системы сил на том же перемещении.

F_Σ = F ₁ + F ₂ + F ₃ + … + F_n.

Работа равнодействующей силы

Мощность

Для характеристики работоспособности и быстроты совершенияработы введено понятие мощности.

Мощность — работа, выполненная в единицу времени:

Единицы измерения мощности: ватты, киловатты,

; 10³ Вт = 1 кВт.

Мощность при поступательном движении

Учитывая, что , получим

P = F v _срcos α,

где F – модуль силы, действующей на тело;

v _ср – средняя скорость движения тела.

Средняя мощность при поступательном движении равна произведению модуля силы на среднюю скорость перемещения и на косинус угла между направлениями силы и скорости.