Понятие случайной величины. Дискретные и непрерывные случайные величины

В разделе, посвященном элементарной теории вероятностей, мы рассматривали качественную характеристику случайного результата опыта, какой является случайное событие. Теперь предметом нашего изучения будут являться переменные величины, которые характеризуют случайный результат опыта количественно и принимают то или иное из своих возможных значений в зависимости от исхода испытания. Например, число очков, выпадающее при бросании одной игральной кости, количество выстрелов при стрельбе до первого попадания в мишень, количество вызовов на телефонной станции за один час, координаты точек попадания в мишень, число самолетов, сбитых в воздушном бою и др.

Определение. Случайной величиной называется переменная величина X, которая принимает то или иное из своих значений, в зависимости от того, какой именно исход испытания произошел, другими словами, если каждому элементарному событию ω из данного пространства элементарных событий соответствует определенное значение x величины X.

Замечание. Случайная величина X является числовой функцией элементарного события.

Случайные величины обозначаются большими буквами латинского алфавита X, Y, Z, …, а их возможные значения - соответствующими малыми латинскими буквами x, y, z, ….

С одним и тем же пространством элементарных событий могут быть связаны различные случайные величины. Например, при выстреле по мишени можно рассматривать следующие случайные величины: – количество выбитых очков; – ордината точки попадания в мишень; Z – расстояние точки попадания от центра мишени.

Различают два основных типа случайных величин: дискретные и непрерывные.

Определение. Дискретной называется случайная величина , множество возможных значений которой конечно либо счетно, то есть перенумерованное бесконечное .

Пример. Примерами дискретных случайных величин являются:

1)число дефектных элементов в приборе, состоящем из n элементов (возможные значения случайной величины

);

2)число выстрелов до первого попадания в цель

(возможные значения случайной величины

).

Определение. Непрерывной называется случайная величина , возможные значения которой непрерывно заполняют некоторый интервал числовой оси (конечный или бесконечный), другими словами, если для любого значения х

, (1)

то есть вероятность того, что случайная величина примет любое фиксированное значение х равна нулю.

Пример. Примерами непрерывных случайных величин являются:

1)величина износа детали после некоторого периода эксплуатации;

2)отклонение от цели по дальности точки падения снаряда;

3)изменение напряжения в энергосистеме за определенный промежуток времени.