Биссектриса и система касающихся окружностей.

Покажем теперь, как с помощь системы касающихся окружностей построить биссектрисы (см. ст. 1) двух данных окружностей. Пусть у нас есть две непересекающиеся окружности А и В. Пусть окружность С1 касается их обеих (не разделяя их между собой), окружность С2 касается А, В и С1 (опять-таки не разделяя эти окружности), С3 касается А, В и С2 и так далее мы добавляем окружности СК, каждая из которых касается А, В и предыдущей окружности.

Рисунок 7.

(Изображена описанная система окружностей)

Теорема о серединной окружности или биссектрисе утверждает, что все точки касания окружностей СК между собой – лежат на одной окружности I и I – биссектриса между А и В, т.е. I(A)=B

Доказательство состоит из двух частей.

Сначала, чтобы ярче проиллюстрировать идею, мы предположим доказанным, что любая окружность, касающаяся А и В (и не разделяющая их) – ортогональна биссектрисе между А и В. Отсюда следует, что точка касания двух таких окружностей при инверсии относительно этой биссектрисы – переходит в себя, т.е. остается неподвижной. (Т.к. она может перейти только в точку их касания, а она – единственна см. пред. теорему). Следовательно, точка касания – обязательно лежит на биссектрисе между А и В, что и требовалось доказать.

Теперь мы докажем, что окружность, касающаяся А и В и не разделяющая их – обязательно ортогональна биссектрисе между ними. В каждой точке Р окружности А можно провести только одну окружность С, касающуюся В (это можно видеть, рассматривая постепенное увеличение окружности С, касающейся А в Р. Сначала С мало и не достает до В, затем – касается, затем – пересекается, затем снова касается, но «с другой стороны», разделяя А и В. Затем не имеет общих точек с В.

Построим эту единственную окружность. Пусть I – биссектриса между А и В, тогда I(A)=B. Обозначим образ точки Р при инверсии относительно I, буквой Q. Т.е. I(P)=Q. Всякая окружность, проходящая через Р и Q – ортогональна I. Но через Р и Q всегда можно провести окружность, касающуюся А. (поздней мы разберем разные варианты подобных построений). Пусть С – такая окружность. Т.к. С касается А, то I(A) касается I(C). I(A)=B, I(C)=C (т.к. С проходит через две сопряженные точки) поэтому С касается В. итак, мы нашли окружность, проходящую через Р и касающуюся А и В. Она ортогональна I. Но было доказано, что такая окружность – единственна, поэтому всякая окружность, касающаяся А и В (не разделяя их) – ортогональна I. что и требовалось доказать.

Докажем теперь, что если у нас есть четыре окружности, касающиеся друг друга по цепочке: А касается В, В касается С, С касается D, D касается А, то четыре точки касания – лежат на одной окружности (если среди А, В, С, D – нет разделяющих друг друга окружностей).

Рисунок 9.

(четыре описанных окружности, P1 и Р4 – точки касания А с двумя другими окружностями, Р2 и Р3 – точки касания С с двумя другими окружностями.)

Рассмотрим инверсию I отображающую А в С. Как было доказано ранее, В и D – ортогональны этой инверсии. Поэтому при этой инверсии точки касания В с А и С поменяются местами также и точки касания D c А и В поменяются местами. I(P1)=P2, I(P4)=P3. Но как было показано ранее (ст. рис. 16), четверка таких точек – всегда лежит на одной окружности. повторим здесь доказательство: проведем окружность через Р1, I(P1)=P2 и Р4. Она ортогональна I, т.к. проходит через пару сопряженных точек (Р1, Р2), значит на ней лежит и I(P4). Что и требовалось.