Студопедия

Главная страница Случайная страница

Разделы сайта

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






Одномерные модели.






Экспериментальное исследование технологических объектов и входящих в их состав звеньев обычно проводится с целью подтверждения правильности моделей, составленных аналитическими методами. Однако возможны случаи, когда аналитическая модель отсутствует. Это возможно, если объект недостаточно изучен или если разработка аналитической модели до проведения экспериментальных исследований слишком трудоёмка и экономически не оправдана. В таких случаях ставится задача получения моделей на основе обработки результатов эксперимента.

Процесс установления соответствия итогов экспериментальных исследований теоретическим представлениям об исследуемом объекте принято называть идентификацией (опознаванием) объекта. Этот термин введён в немалой степени потому, что результаты экспериментальных исследований зависят от ряда трудно учитываемых факторов, многие из которых носят случайный характер. К таким факторам относятся:

• разброс параметров изучаемых объектов;

• изменение параметров объектов в процессе испытаний, в том числе и отказы оборудования;

• разброс параметров обрабатываемых заготовок и материалов;

• разброс показаний (погрешности) измерительной аппаратуры.

Действие указанных факторов приводит к тому, что при одних и тех же входных (управляющих) воздействиях в разных сериях испытаний значения выходных параметров испытуемого объекта получаются различными. При моделировании технологического объекта по результатам экспериментальных исследований возникает задача оценки разброса выходных параметров и определения их однозначной (детерминированной) зависимости от управляющих воздействий в условиях действия случайных факторов. Для получения надёжной детерминированной модели теории вероятностей (приложение 3), на которых основан регрессионный анализ результатов эксперимента.

Регрессией выходного параметра y на входной параметр х называют любую функцию f(x), приближённо представляющую вероятностную зависимость y от x. В результате функция y представляется в виде суммы:

где h(x, y) – поправочный член.

На первый план обычно выдвигается задача определить, как в среднем изменяется величина y при изменении управляющего воздействия x. Эта задача лучше всего решается с помощью функции регрессии y = g(x), где:

, (3.7)

где m – число различных значений y, полученных из опытов, произведённых при заданном значении x;

yj – значения y, полученное при заданном значении x;

Py/x(yi) – условная вероятность того, что y = yj при заданном значении x.

При практическом определении y = g(x) исходят из соотношения:

, (3.8)

где k – число произведённых измерений величины y при x = xi.

При k∞ yig(xi).

Функция регрессии g(x) отличается тем, что средний квадрат отклонения её от искомой функции y(x) меньше среднего квадрата отклонения y от любой другой функции f(x), приближённо представляющей вероятностную зависимость y(x). В общем случае функция регрессии имеет нелинейный характер, в связи с чем возникает задача её линеаризации. Наилучшим линейным приближением вероятностной зависимости y(x) является линейная регрессия y на x, которая может быть представлена в следующем виде:

, (3.9)

где r – эмпирический коэффициент корреляции;

Sy, Sx – несмещённые стандартные отклонения соответственно y и x от их средних значений;

x0 – среднее значение x в заданном диапазоне;

y0 – среднее значение y в заданном диапазоне измерения x.

Значение x0 и y0 определяют по следующим формулам:

; (3.10)

, (3.11)

где n – число экспериментальных точек y(x) на аппроксимируемом интервале.

Несмещённые стандартные отклонения y и x от их средних значений определяют по следующим формулам:

; (3.12)

. (3.13)

Эмпирический коэффициент корреляции определяют по формуле:

. (3.14)

Зависимость (3.9) называют эмпирической прямой регрессии, причём коэффициент r, который принимает значения -1 ≤ r ≤ 1, показывает, насколько хорошо в среднем может быть представлена величина y в виде линейной функции от x. Если все экспериментальные точки y(x) лежат на одной прямой, то , а линейная зависимость y(x) является абсолютно точной. При r = 0 величины y и x являются некоррелированными. Следовательно, при малых r связывать y и x линейной зависимостью не имеет смысла.

Пример 3.1.

Таблица 3.1

Зависимость тока I, потребляемого нагревательным элементом,

от напряжения U на его клеммах

U, В     24, 5 24, 5   25, 5       26, 5 26, 5      
I, А 0, 22 0, 24 0, 23 0, 24 0, 25 0, 26 0, 23 0, 25 0, 27 0, 24 0, 26 0, 28 0, 26 0, 27
m                            

В табл.3.1 приведена зависимость тока I, потребляемого нагревательным элементом, от напряжения U на его клеммах. Данные записывались один раз в сутки. Число m показывают, сколько раз записывались одинаковые пары U и I. Считая зависимость I(U) линейной, определить сопротивление Rн нагревательного элемента.

Обозначаем U = x, I = y и по формулам 3.10…3.14 (учитывая, что общее число точек I(U) с учётом m равно 26, т.е. n = 26) определяем: x0 = 25, 5; y0 = 0, 248; Sx = 1, 49; Sy = 0, 0185; r = 0, 793.

Соответственно линейная регрессия y на x согласно формуле (3.9) имеет вид:

.

После упрощения и возврата к U и I получим I ≈ 0, 0098U; ).

Если линейная регрессия неудовлетворительна (коэффициент корреляции r близок к нулю), то применяют более точные аппроксимации уравнения регрессии (3.7) с помощью полинома вида:

,

называемого параболической регрессией порядка m, или с помощью функции:

,

называемой экспоненциальной регрессией, особенно полезной при идентификации поведения технологического объекта в динамике. Коэффициенты аппроксимирующих функций выбирают таким образом, чтобы было минимизировано суммарное квадратичное отклонение вида (3.1) избранной регрессии от экспериментальных данных.






© 2023 :: MyLektsii.ru :: Мои Лекции
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав.
Копирование текстов разрешено только с указанием индексируемой ссылки на источник.