Аналитические методы моделирования.

Многообразие технологических процессов обусловило многообразие моделей ТО и методов их получения. Методы подразделяются на аналитические и экспериментальные. Аналитические методы базируются на знании физических, химических и других законов, определяющих функционирование ТО. Если теоретических знаний недостаточно, то применяются экспериментальные методы, при которых параметры моделей определяются опытным путём. При составлении алгоритма функционирования аналитическим путём технологический объект представляют в виде совокупности типовых звеньев, в каждом из которых происходит однократное преобразование энергии. Звенья такого рода принято называть динамическими звеньями. Они описываются дифференциальными уравнениями не выше второго порядка.

Математическое описание звеньев данного типа производится в следующем порядке:

1. Выходной параметр рассматриваемого звена назовём преобразуемым продуктом Q, а управляющий (входной) параметр – разностью потенциалов U, измеряемой количеством энергии, затрачиваемой на единицу преобразуемого продукта.

2. Описываемое звено представим в виде контура, в котором сумма разностей потенциалов должна быть равна нулю:

. (3.2)

3. Связи между отдельными звеньями, отображающими ТО, формируются исходя из условия равенства нулю суммы расхода продукта в любом разветвлении:

. (3.3)

В качестве примера рассмотрим уравнения характерных для систем электромеханического преобразования энергии электрического и механического звеньев.

1. Уравнение цепи якоря двигателя постоянного тока:

,

где u – напряжение, приложенное к цепи якоря;

е_я – ЭДС якоря, причём предполагается, что положительное направление ЭДС якоря противоположно положительному направлению напряжения;

L_я и R_я – соответственно индуктивность и сопротивление якорной цепи;

q – заряд, переносимый в якорной цепи.

2. Уравнение механического звена двигателя, работающего в условиях наличия сухого M_c и вязкого трения с коэффициентом вязкости β _с при моменте инерции J электропривода:

,

где M – момент двигателя;

φ – угол поворота вала двигателя.

Положительное направление момента M_c выбирается противоположным положительному направлению момента двигателя M.

В первом примере: Q_j – это переносимый заряд q; U_j – это ЭДС и напряжения в рассматриваемом контуре; во втором примере: Q_j – это угол поворота φ; U_j – это момент двигателя и моменты сопротивления в рассматриваемом механическом звене.

Полный алгоритм функционирования ТО получают путём установления связей между входящими в его состав динамическими звеньями. В результате получают многоконтурную модель, которая будет представлена в виде односвязной или многосвязной системы. Односвязная (одномерная) система получается в том случае, если модель ТО имеет один вход и один выход. Однодвигательные электроприводы, особенно электроприводы постоянного тока, чаще всего отображаются односвязными моделями.

Однако электроприводы и другие ТО, входящие в состав АСУТП, обычно объединены различными связями в один комплекс. Их совместную работу невозможно рассматривать раздельно, без учёта их взаимодействия и взаимовлияния. Поэтому алгоритм функционирования ТО, управляемого от АСУТП, обычно представляется в виде многосвязной (многомерной) системы, в которой учтено взаимодействие входных параметров, их совместное воздействие на выходные параметры и перекрёстные обратные связи от выходных параметров, действующие в ТО. Для анализа подобных систем строят математические модели в матричной форме.

Рассмотрим, например, систему уравнений, отображающую некий ТО в виде трёхсвязной (трёхмерной) линейной системы:

;

; (3.4)

.

где x₁, x₂, x₃ – входные переменные;

y₁, y₂, y₃ – выходные переменные;

a_ij, b_ij – коэффициенты (некоторые из них могут быть равны нулю).

Слагаемые с x₂ и x₃, а также с y₂ и y₃, имеющие в первом уравнении системы (3.4), отображают объективно существующие в данном ТО перекрёстные связи между его параметрами. Аналогичные связи отображены и в остальных уравнениях системы (3.4). Так, слагаемое b₃₂x₂ в третьем уравнении системы отображает, возможно нежелательное, но объективно существующее перекрёстное влияния управляющего воздействия x₂, предназначенного для управления параметром y₂, на параметр y₃, а слагаемое a₂₃y₃ во втором уравнении системы отображает перекрёстную обратную связь с выхода y₃ на параметр y₂. Если коэффициенты b₃₂ и a₃₂ равны нулю, то это означает, что указанные перекрёстные связи отсутствуют.

С помощью системы уравнений типа (3.4) можно анализировать как статические, так и динамические режимы, если при анализе динамики заменить дифференциальные уравнения их операторными отображениями. В матричной форме данная система отображается следующим образом:

, (3.5)

где A, B, X, Y – записанные в табличной форме (в виде матриц) коэффициенты и переменные системы (3.4):

.

Решение уравнений, записанных в матричной форме, облегчается наличием специализированного программного обеспечения операций с матрицами, предназначенного для исследования систем автоматизации.

Во многих случаях модели ТО существенно нелинейны. В качестве примера рассмотрим трёхмерную систему уравнений, описывающих движение механизма по прямой линии со скоростью ν из начала координат в точку с координатами x, y, z:

(3.6)

Уравнения (3.6) задают проекции скорости ν перемещения рабочего органа в пространстве на координаты x, y, z в пределах текущего кадра программы. Уравнения такого типа используются в системах ЧПУ при вычислениях промежуточных точек заданной траектории движения, когда движение между заданными точками должно производиться по прямой линии (линейная интерполяция).

Система уравнений (3.6) соответствует случаю, когда начало координат совмещается с начальной точкой очередного линейного участка траектории (с начальной точкой кадра программы), а координаты x, y, z соответствуют конечной точке в данном кадре, что соответствует заданию перемещений в приращениях. Общий вид траектории движения определяется законом изменения координат x, y, z от кадра к кадру. Чтобы пользоваться типовыми программами решения уравнений, записанных в матричной форме, нелинейные уравнения линеаризуются в окрестности интересных для исследования поведения технологического объекта точек.