Выражение копмонентов деформаций через перемещения(состояние Коши)

________________________________________________________________________________

Сопротивление материалов и теория упругости перемещения отдельных точек тела связывают с его деформациями.

Причем, в теории упругости решается задача получения в общей форме геометрических зависимостей деформаций от напряжений в нагруженном теле.

При деформации, точки тела перемещаются. Например, точка А (x, y, z) переместится в точку в А₁, т.е. получит перемещения u, v, w.

Координаты точки А₁:

Отрезок АА₁ есть модуль полного перемещения

Поле напряжений в нагруженном теле является неоднородным, поэтому поле деформаций также будет неоднородным.

Воспользуемся также тем обстоятельством, что даже большие величины напряжений сопровождаются весьма малыми деформациями:

деформации малы по сравнению с размерами тела.

Следовательно, при переходе от точки А к точке А₁ величины деформаций бесконечно малых отрезков, параллельных координатным осям, будут изменяться на величину дифференциала.

Выделим в теле два отрезка АВ и АС бесконечно малой длины (dx, dy) с прямым углом между ними.

После деформации тела точки А, В, С переместятся в новое положение

Относительная линейная деформация

Изменение углов:

относительная угловая деформация

Окончательные выражения для относительных линейных и угловых деформаций для всех трех координатных плоскостей называют соотношениями Коши:

16.Уравнения неразрывности (совместности) деформаций (уравнения Сен-Венана)

_______________________________________________________________________________

Эти уравнения позволяют по напряжениям и деформациям (т.е. по уравнениям Навье и соотношения Коши) определить перемещения u, v, w.

Приведем уравнения совместности деформаций (уравнения Сен-Венана) без вывода.

Соотношения содержат только составляющие деформаций тела в данной точке.

Это геометрические условия деформаций при решении задач теории упругости в напряжениях.

В соответствии с алгоритмом решения статически неопределимых задач получим физические уравнения, связывающие напряжения и деформации: обобщенный закон Гука.