Некоторые логические законы

MODUS PONENS (МОДУС ПОНЕНС)

Слово «модус» в логике означает разновидность некоторой общей формы рассуждения.

Правило вывода modus ponens (модус поненс), обычно называемое правилом отделения или гипотетическим силлогизмом, позволяет от утверждения условного высказывания и утверждения его основания (антецедента) перейти к утверждению следствия (консеквента) этого.

Если А, то В; А

В

Другая запись:

Если А, то B. А. Следовательно, В.

Благодаря этому правилу от посылки «если А, то В», используя посылку «А», мы как бы отделяем заключение «B».

Пример.

Если у человека грипп, он болен.

У человека грипп.

Человек болен.

Впервые это правило было сформулировано, насколько можно судить, учеником Аристотеля Теофрастом еще в III в. до н.э.

Соответствующий правилу отделения логический закон формулируется так:

(А → В) ˄ А → В.

Если верно, что если А, то В, и А, то верно В.

Пример. Если висмут – металл, он проводит электрический ток. Висмут – металл.

Висмут проводит электрический ток.

Рассуждение по правилу modus ponens идет от утверждения основания истинного условного высказывания к утверждению его следствия. Это логически корректное движение мысли иногда путается со сходным, но логически неправильным ее движением от утверждения следствия истинного условного высказывания к утверждению его основания.

Пример неверного умозаключения:

Если человек собирает марки, он коллекционер. Человек – коллекционер.

Человек собирает марки.

Далеко не все коллекционеры собирают именно марки. Из того, что человек коллекционер, нельзя заключать, что он собирает как раз марки.

Истинность посылок не гарантирует истинности заключения.

Против смешения правила modus ponens с указанной неправильной схемой предостерегает совет: от подтверждения основания к подтверждению следствия заключать можно, от подтверждения следствия к подтверждению основания – нет.

MODUS TOLLENS (МОДУС ТОЛЛЕНС)

Так средневековые логики называли следующую схему рассуждения:

Если А, то B; неверно, что В.

Неверно, что А.

Другая запись:

Если А, то В. Не-B. Следовательно, не-A.

Эта схема часто называется принципом фальсификации: если из какого-то утверждения вытекает следствие, оказывающееся ложным, это означает, что и само утверждение ложно. Посредством схемы от утверждения условного высказывания и отрицания его следствия осуществляется переход к отрицанию основания данного высказывания.

Пример.

Если гелий – металл, он электропроводен.

Гелий неэлектропроводен.

Гелий – не металл.

MODUS PONENDO TOLLENS (МОДУС ПОНЕНДО ТОЛЛЕНС)

Этим именем средневековые логики обозначали следующие схемы рассуждения:

Либо А, либо В; А

Неверно, что В

Либо А, либо В; В

Неверно, что А

Другая запись:

Либо А, либо В. А. Следовательно, не-B.

Либо А, либо В. В. Следовательно, не-А.

Посредством этих схем от утверждения двух взаимоисключающих альтернатив и установления того, какая из них имеет место, осуществляется переход к отрицанию второй альтернативы: либо первое, либо второе, но не оба вместе; есть первое; значит, нет второго.

Пример. Достоевский родился либо в Москве, либо в Петербурге.
Он родился в Москве.

Неверно, что Достоевский родился в Петербурге.

Дизъюнкция, входящая в данную схему, является строгой. Она означает: истинно первое или истинно второе, но не оба вместе. Такое же рассуждение, но с нестрогой дизъюнкцией (первое или второе, но возможно, что и первое, и второе), логически неправильно. От истинных посылок оно может вести к ложному заключению.

Пример. На Южном полюсе был Амундсен или был Скотт.
На Южном полюсе был Амундсен.

Неверно, что там был Скотт.

Обе посылки истинны: и Амундсен, и Скотт достигли Южного полюса, заключение же ложно.

Правильным является умозаключение:

На Южном полюсе первым был Амундсен или Скотт.
На этом полюсе первым был Амундсен.

Неверно, что там первым был Скотт.

MODUS TOLLENDO PONENS (МОДУС ТОЛЛЕНДО ПОНЕНС)

Этим термином средневековые логики обозначали разделительно-категорическое умозаключение:

А или В; неверно А

В

Или:

А или В; неверно В

А

Другая форма записи:

А или В. Не-А. Следовательно, В.

А или В. Не-В. Следовательно, А.

Пример.

Множество является конечным или оно бесконечно.

Множество не является конечным.

Множество бесконечно.

Иногда эту схему рассуждения именуют дизъюнктивным силлогизмом.

С использованием логической символики умозаключение формулируется так:

A v B, ~ A

В

Или:

A v В, ~ В

А

В современной логике модус толлендо поненс называется также правилом удаления дизъюнкции.