Общее уравнение переноса.

Пусть величина G характеризу­ет определенное молекулярное свойство, отнесенное к одной молекул е. Это может быть энергия, импульс, электрический за­ряд и др.

Ясно, что при наличии градиента величины G должен возникнуть поток в сторону ее уменьшения.

Пусть величина G меняется то­лько в направлении оси X, напри­мер, так, как показано на рис. 6.8.

Площадку S будут пронизывать молекулы, движущиеся во встреч­ных направлениях,

их плотности потоков обозначим j ' и j".

Причем — это существенно — они должны быть равны друг другу (j ' = j") что­бы не возникало газодинамических потоков и чтобы все процессы сводились только к переносу величины G. Тогда для результирующей плотности потока величины G можно (см. рис. 6.8) записать:

(6.19)

Благодаря малости разность значений G" -G' представим в виде

(6.20)

С учетом этой формулы выражение (6.19) запишем так:

(6.21)

Это и есть общее уравнение переноса для любой величины G. Здесь п₀ — концентрация молекул,

— их средняя тепловая скорость.

Значения этих величин берутся в сечении S.

Применим это уравнение к трем наиболее интересным явле­ниям переноса, связанным с диффузией, вязкостью и теплопроводностью.

Диффузия. Ограничимся рассмотрением самодиффузии, т. е. процессом перемешивания (взаимопроникновения) моле­кул одного сорта.

Макроскопически самодиффузию наблюдать нельзя: из-за тождественности молекул она не может проявля­ться ни в одном явлении. Для наблюдения этого процесса часть молекул газа надо как-то «пометить». Практически это можно сделать с помощью так называемых «меченых» атомов: смесь газов берут из двух изотопов одного и того же элемента, один из которых радиоактивен. Тогда процесс диффузии можно на­блюдать, регистрируя радиоактивное излучение радиоизотопа. Можно также взять смесь двух различных газов, молекулы ко­торых почти одинаковы по массе и размерам (такие, например, как N₂ и СО). В этом случае у обеих компонент газа будут оди­наковы как средние скорости, так и длины свободного пробега, т. е. и .

Вследствие теплового движения молекул будет происходить процесс выравнивания концентраций, сопровождающийся переносом массы каждой из компонент в направлении убывания ее концентрации. Этот процесс носит название диффузии.

Диффузия наблюдается также в жидких и твердых телах.

Чтобы отсутствовали газокинетические потоки и перемешивание молекул происходило только за счет диффузии, необходимо, чтобы суммарная концентра­ция п_о обеих компонент смеси не зависела от координаты в направлении оси X, вдоль ко­торой происходит этот процесс (рис. 6.9).

Пусть концентрация молекул 1-го сорта зависит от координаты х как п₁(х).

Учитывая, что величина G в уравнении (6.21) есть характеристика перено­симого количества, отнесенного к одной молекуле, имеем , где n₀ —равновесная концентрация (см. рис. 6.9). Тогда уравне­ние (6.21) в данном случае примет вид

(6.22)

Сравнив это выражение с эмпирической формулой (6.9), находим, что коэффициент самодиффузии

Это справедливо лишь до тех пор, пока λ остается малой по сравнению с размерами зазора, в котором течет газ (например, по сравнению с диаметром трубы). По мере того как перестает выполняться это условие:

- вязкость начинает все больше зависеть от давления, уменьшаясь с его понижением.

- Когда средняя длина пробега становится сравнимой с размерами зазора, в котором течет газ, пробег молекул будет определяться величиной зазора и λ перестает зависеть от давления.

- Число же молекул в единице объема при уменьшении давления продолжает убывать, вследствие чего уменьшается и η.

Очевидно, коэффициент вязкости должен расти с температурой пропорционально . Опыт дает, что η возрастает несколько быстрее, чем . Причиной этого служит зависимость средней длины свободного пробега от температуры.