Магнитное поле в вакууме

Магнитное поле – это особая форма материи. Магнитное поле – порождается любыми движущимися зарядами: электрический ток в металле, в электролите, в газе, пучок электронов, протонов и т.п. Конвекционный ток (движущееся заряженное макроскопическое тело) также создает в окружающем пространстве магнитное поле. Магнитное поле постоянных магнитов создается зарядами, движущимися внутри атомов. С другой стороны, и действует магнитное поле только на движущиеся электрические заряды. Таким образом, между движущимися друг относительно друга электрическими зарядами, кроме электрических сил, действуют еще и магнитные силы.

Опыт показывает, что на движущийся в магнитном поле заряд действует сила , величина которой зависит от величины заряда, а также от величины и направления скорости. Направление силы зависит от направления вектора скорости. Если двигать пробный заряд через какую-либо фиксированную точку поля с одной и той же по величине скоростью, но в разных направлениях, то магнитная сила каждый раз будет разной. Однако всегда . Дальнейший анализ экспериментальных фактов позволил установить, что для каждой точки электромагнитного поля существует единственное направление MN (см. рисунок), обладающее следующими свойствами:

a). Если двигать заряд по этому направлению с любой скоростью, то .

b). Если скорость заряда составляет некоторый угол с этим направлением, то величина магнитной силы пропорциональна синусу этого угла .

c). При всевозможных движениях заряда всегда перпендикулярна этому выделенному направлению, то есть все лежат в одной плоскости перпендикулярной MN.

Если вдоль направления MN направить некоторый вектор , имеющий смысл коэффициента пропорциональности между магнитной силой и произведением , то задание , и однозначно характеризует то состояние поля, которое обусловливает появление магнитной силы . Вектор назвали вектором магнитной индукции. Единица магнитной индукции в СИ тесла (Тл).

Так как и , и то . Магнитную силу называют силой Лоренца. Если на движущуюся заряженную частицу q одновременно действует и магнитное, и электрическое поля, то результирующую силу, также называют силой Лоренца. .

Пусть частица массой m с зарядом q, имеющая скорость , попадает в однородное магнитное поле (), причем скорость частицы параллельна вектору . В этом случае и частица будет продолжать двигаться с постоянной по величине и направлению скоростью.

Если частица массой m с зарядом q, имеющая скорость , попадает в однородное магнитное поле (), и скорость частицы перпендикулярна вектору . Такое магнитное поле изображается системой равноотстоящих друг от друга точек. На рисунке вектор направлен перпендикулярно чертежу от нас. Поскольку для микрочастиц сила тяжести много меньше магнитной силы (mg< < F_M), силой тяжести пренебрегают. Направление магнитной силы (силы Лоренца) можно найти, пользуясь правилом векторного произведения. Под действием этой силы, перпендикулярной скорости, частица будет двигаться по окружности радиуса R с постоянной по величине скоростью v. Уравнение 2-го закона Ньютона для частицы будет иметь вид . Отсюда радиус окружности, по которой движется заряженная частица . Период вращения . Частица будет двигаться по окружности вокруг направления вектора , причем положительные и отрицательные частицы будут вращаться в противоположенных направлениях.

Если начальная скорость частицы составляет угол α с направлением вектора , то для удобства рассмотрения разложим вектор на составляющие, параллельную и перпендикулярную : , . Величина магнитной силы в этом случае . Направление силы можно найти, пользуясь правилом векторного произведения. За счет составляющей скорости v_⊥ частица движется по окружности в плоскости, перпендикулярной вектору . Уравнение 2-го закона Ньютона в этом случае: . Отсюда радиус окружности . В направлении вектора частица движется с постоянной скоростью . Результирующее движение частицы – по винтовой линии. Шаг винтовой линии .

Магнитное поле, создаваемое в пространстве (в вакууме) движущимся зарядом q определяется выражением: , где – скорость заряда в рассматриваемой системе отсчета, причем v< < c (c – скорость света в вакууме); – радиус-вектор, проведенный в точку, в которой определяется вектор магнитной индукции , Гн/м – магнитная постоянная.

Принцип суперпозиции: магнитное поле, создаваемое совокупностью движущихся зарядов, равно векторной сумме полей, создаваемых отдельными зарядами , где - магнитная индукция результирующего поля, - магнитная индукция полей, создаваемых отдельными зарядами.

Электрический ток – упорядоченное движение зарядов, поэтому электрический ток создает в окружающем пространстве магнитное поле. Магнитное поле, создаваемое элементом проводника , создается всеми движущимися зарядами, заключенными в этом элементе. Найдем магнитную индукцию поля, создаваемого элементом тока. Элементом тока назовём произведение силы тока на элемент проводника : . Преобразуем формулу . Согласно принципу суперпозиции, магнитная индукция элемента тока есть сумма векторов магнитной индукции, создаваемых всеми зарядами элемента тока: . Если n – концентрация носителей заряда, – объем элемента проводника и S – площадь поперечного сечения проводника, то полное число носителей заряда в элементе равно , и . Учтём, что плотность тока , здесь e - заряд носителей тока, - скорость их упорядоченного движения. Получаем . Сила тока связана с плотностью тока j соотношением . Векторы и имеют одинаковое направление. Окончательно получаем: . Это закон Био-Савара-Лапласа (в вакууме) – формула для определения индукции магнитного поля, порождаемого элементом тока .

Отметим, что вектор перпендикулярен векторам и . В скалярном виде закон Био-Савара-Лапласа можно записать: , где α – угол между векторами и .

Пользуясь законом Био-Савара-Лапласа и принципом суперпозиции, можно вычислять магнитное поле, создаваемое токами различной формы.

1) Прямой ток – это бесконечно длинный прямолинейный проводник с током. В любой точке А векторы от всех элементов проводника направлены по одной прямой («за чертеж»), поэтому сложение векторов можно заменить сложением их модулей. Из рисунка видно, что, вследствие малости угла , и , здесь R – расстояние от точки, в которой мы определяем вектор магнитной индукции (А) до проводника. Подставляя эти выражения в закон Био-Савара-Лапласа, получаем: . Таким образом, модуль вектора магнитной индукции поля, создаваемого элементом прямого тока, равен .

В случае конечного отрезка проводника, концы которого видны из точки А под углами α ₁ и α ₂, интегрируя в пределах от α ₁ до α ₂, получаем: .

Формула для индукции магнитного поля бесконечного прямого тока может быть получена, если рассматривать бесконечный прямой ток как отрезок очень большой длины. При этом (, ) и .

Линии магнитной индукции – это линии, касательные к которым в каждой точке совпадают с направлением . Для прямого тока – это концентрические окружности с центрами на проводнике, лежащие в плоскостях, перпендикулярных току. Направление линий определяется правилом правого винта.

2) Круговой ток – это виток радиуса R, по которому течет ток . в центре витка векторы от всех элементов витка направлены по оси витка. Поскольку все перпендикулярны радиусу-вектору , равному по величине радиусу витка R и . Тогда: . Интегрируя, находим: . Итак, индукция магнитного поля в центре витка с током .

На оси витка в некоторой точке А, находящейся на расстоянии x от его центра, векторы от различных элементов тока направлены как образующие конуса, перпендикулярные к . Из соображений симметрии следует, что результирующий вектор направлен по оси тока. Поскольку радиус-вектор перпендикулярен элементу тока , закон Био-Савара-Лапласа в этом случае: , поэтому . Результирующую величину магнитной индукции в точке А находим интегрированием . Величина вектора магнитной индукции на оси витка с током в точке, находящейся на расстоянии x от центра витка .

Линии магнитной индукции кругового витка с током показаны на рисунке.

Линии магнитной индукции замкнуты, поэтому магнитное поле называется вихревым. Это соответствует тому, что в природе нет магнитных зарядов, в отличие от электрических зарядов.

Вычислим циркуляцию вектора . Рассмотрим контур, охватывающий прямой ток, и лежащий в плоскости, перпендикулярной току. Пусть контур совпадает с одной из линий магнитной индукции. На рисунке ток течет перпендикулярно чертежу «за чертеж». В этом случае во всех точках контура (окружности радиуса R) . Поэтому циркуляция вектора равна . Итак, , т.е. циркуляция вектора индукции магнитного поля не зависит от радиуса контура R, следовательно, это справедливо для любого контура, охватывающего ток.

Если контур токов не охватывает, то циркуляция вектора вдоль этого контура

Если контур охватывает несколько токов, то циркуляция вектора определяется их алгебраической суммой: . Эта формула выражает теорему о циркуляции вектора в вакууме (закон полного тока): циркуляция вектора вдоль замкнутого контура равна произведению магнитной постоянной на полный ток, протекающий сквозь поверхность, ограниченную этим контуром.

Теорема о циркуляции вектора в ряде случаев позволяет просто вычислить индукцию магнитного поля.

1). Магнитное поле тороида. Тороид – это катушка, намотанная на кольцевой сердечник. Из соображений симметрии ясно, что величина вектора одинакова во всех точках окружности радиуса r, центр которой совпадает с центром тороида. . Поскольку рассматриваемая окружность охватывает все N витков тороида, то циркуляция вектора вдоль этой окружности в соответствии с теоремой о циркуляции вектора : , где 2π r – длина рассматриваемой окружности. Таким образом, величина магнитной индукции внутри тороида в вакууме: .

Если контур проходит вне тороида, то он не охватывает витков с током, следовательно , а значит, и В=0. Таким образом, магнитное поле сосредоточено внутри тороида.

2).Магнитное поле соленоида. Соленоид – это катушка с током, намотанная на цилиндрический сердечник. Если неограниченно увеличивать радиус тороида (), то любой отрезок тороида перейдет при этом в прямую катушку или соленоид. Магнитное поле внутри соленоида однородно, т.е. линии магнитной индукции параллельны. Для бесконечно длинного соленоида, когда его длина много больше диаметра ( > > d), индукция магнитного поля в вакууме: , где – число витков на единицу длины.

Поскольку на движущийся заряд в магнитном поле действует магнитная сила (сила Лоренца), на проводник с током со стороны магнитного поля также действует сила. Эта сила действует на каждый элемент проводника и определяется законом Ампера: . Направление силы определяется правилом векторного произведения или правилом левой руки: если расположить левую руку так, чтобы линии индукции входили в ладонь, а вытянутые пальцы были направлены вдоль тока, то отведенный большой палец укажет направление силы, действующей на проводник (силы Ампера).

Закон Ампера можно получить из выражения для силы Лоренца. Полное число носителей заряда в элементе тока равно , где n – концентрация носителей, - объём элемента тока, S – площадь сечения проводника. Сила, действующая на элемент тока, равна сумме сил, действующих на отдельные заряженные частицы. Поскольку скорости упорядоченного движения зарядов направлены в одну сторону, то и силы Лоренца, действующие на отдельные заряды, также направлены в одну сторону. Результирующая всех сил Лоренца есть сила Ампера . Учитывая, что , и , получаем .

Сила Ампера имеет указанное значение независимо от того, покоится проводник с током или перемещается относительно магнитного поля. Пользуясь выражением силы Ампера, действующей на элемент тока, можно найти силу, действующую на весь проводник. Например, в случае прямолинейного отрезка проводника длины в однородном магнитном поле сила Ампера равна , или в скалярном виде , где α – угол между направлением тока и вектором .

Если имеется 2 проводника с током, то каждый из них создает свое магнитное поле, поэтому каждый проводник с током находится в магнитном поле соседнего проводника и, значит, на каждый проводник с током действует сила Ампера со стороны другого проводника. Такое взаимодействие называется магнитным, т.к. проводники с токами взаимодействуют посредством своих магнитных полей.

Пусть два длинных проводника с токами и находятся на расстоянии r друг от друга в вакууме. Пользуясь законом Ампера и выражением магнитной индукции В для бесконечно длинного проводника, силу, действующую на элемент проводника в вакууме, можно записать: . Если токи текут в одном направлении, то проводники притягиваются, если токи направлены противоположно, то они отталкиваются. Из выражения для силы взаимодействия параллельных токов определяется единица силы тока в СИ 1ампер (1А): 1 ампер – сила постоянного тока, который проходя по двум длинным тонким прямолинейным проводникам, расположенным в вакууме на расстоянии 1м друг от друга, вызывает силу взаимодействия на каждый метр длины.