Нелинейное уравнение с одной переменной

Пусть требуется найти решение нелинейного уравнения с одной переменной. Функция раскладывается в степенной ряд в окрестности точки :

где ; означает, что значения производных функции взяты в точке . Если ограничиться двумя членами ряда, то можно найти такое значение , которое обращает в ноль линейную аппроксимацию исходной функции :

=0 .

Это выражение позволяет записать рекуррентное соотношение

.

(6.1)

На рис. 6.1 представлена графическая интерпретация метода Ньютона. Следующее приближение переменной определяется точкой пересечения касательной к функции f(x) с осью абсцисс.

Пример. Методом Ньютона получить решение нелинейного уравнения . Точные решения этого уравнения . Однако их требуется найти. Для расчетов методом Ньютона необходимо знать .

Решение (3 шага) для двух начальных приближений аргумента (для получения двух корней уравнения) записано в табл. 6.1, 6.2.

Таблица 6.1

k
				=10-66/17=6, 12
	6, 12	15, 07	9, 24	4, 48
	4, 48	2, 66	5, 97	4, 04
	4, 04	0, 2016	5, 08	4, 00

Таблица 6.2

k
	-10		-23	-4, 52
	-4, 52	30, 01	-12, 04	-2, 03
	-2, 03	6, 21	-7, 06	-1, 15
	-1, 15	0, 77	-5, 3	-1