Решение систем линейных уравнений методом простой итерации

Решение СЛУ возможно не только прямыми, где предопределено число математических операций, но и итерационными методами. Для решения итерационным методом требуется получить рекуррентное соотношение . С этой целью матрица коэффициентов представляется в виде А = S + T Тогда исходную СЛУ можно записать в виде:

или .

Если матрица S^-1 существует, то для определения решения СЛУ можно записать следующее рекуррентное выражение:

(5.1)

Итерационный метод определяется способом разбиения матрицы А на S и T. Для решения СЛУ в настоящее время применяются, в основном, методы простой итерации и Гаусса-Зейделя.

В методе простой итерации (метод Якоби) S –диагональная матрица из диагональных элементов матрицы А. ОтсюдаТ – матрица, диагональные элементы которой равны 0, а недиагональные совпадают с соответствующими элементами матрицы А.

В каноническом виде рекуррентное выражение (5.1) метода простой итерации (метода Якоби) для УУН имеет вид

Пример: Рассмотрим систему УУН, соответствующую некоторой электрической сети с заданными узловыми токами (в качестве упражнения читателю предлагается изобразить схему этой сети)

Выразив из первого уравнения переменную U ₁, а из второго U ₂, получаем рекуррентное соотношение метода простой итерации:

или .

Для организации итерационного процесса предлагается брать в качестве начального приближения напряжения, равные напряжению балансирующего узла: .

Итерация 1.

.

Итерация 2.

,

.

Дальнейшие вычисления производятся аналогично. После 13 итераций получается почти точное решение: .