Постановка задачи. Уравнение называется обыкновенным дифференциальным n-го порядка, если F определена и непрерывна в некоторой области и

Уравнение называется обыкновенным дифференциальным n-го порядка, если F определена и непрерывна в некоторой области и, во всяком случае, зависит от . Его решением является любая функция u(x), которая этому уравнению удовлетворяет при всех x в определённом конечном или бесконечном интервале. Дифференциальное уравнение, разрешенное относительно старшей производной имеет вид Решением этого уравнения на интервале I=[a, b] называется функция u(x).

Решить дифференциальное уравнение у^/=f(x, y) численным методом - это значит для заданной последовательности аргументов х₀, х₁…, х_n и числа у₀, не определяя функцию у=F(x), найти такие значения у₁, у₂, …, у_n, что у_i=F(x_i)(i=1, 2, …, n) и F(x₀)=y₀.

Темой курсовой работы является «Сравнение трудоемкости различных методов решения дифференциальных уравнений. Метод Эйлера и метод Рунге-Кутта». Заданное уравнение:

(1.1)

при y(0)=1 на отрезке [0; 0.5] с шагом h=0.1. Вычисления вести с тремя верными знаками.

Таким образом, численные методы позволяют вместо нахождения функции y=F(x) (1.1) получить таблицу значений этой функции для заданной последовательности аргументов. Величина h=x_k-x_k-1 называется шагом интегрирования.

Метод Рунге-Кутта четвертого порядка для решения уравнения первого порядка.

Идея Рунге-Кута состоит в том, чтобы использовать метод неопределённых коэффициентов [2, с. 78]. Наиболее употребительным методом Рунге-Кутта решения уравнения первого порядка y' = F(x, y) (1.1) является метод четвертого порядка, в котором вычисления производятся по формуле:

y_k+1 = y_k +(k1 +2k2 +2k3 +k4)/6, (1.2)

где

k₁ = F_k h = F(x_k, y_k )h,

k₂ = F(x_k +h/2, y_k +k₁ /2)h,

k₃ = F(x_k +h/2, y_k +k₂ /2)h,

k₄ = F(x_k +h, y_k +k₃)h,

k = 0,..., n-1.

h = (xf -x₀)/n (1.3)

Метод Эйлера.

Решить дифференциальное уравнение у^/=f(x, y) численным методом - это значит для заданной последовательности аргументов х₀, х₁…, х_n и числа у₀, не определяя функцию у=F(x), найти такие значения у₁, у₂, …, у_n, что

у_i=F(x_i)(i=1, 2, …, n) и F(x₀)=y₀ (1.4)

Таким образом, численные методы позволяют вместо нахождения функции У=F(x) получить таблицу значений этой функции для заданной последовательности аргументов. Величина h=x_k-x_k-1 называется шагом интегрирования.

Метод Эйлера относиться к численным методам, дающим решение в виде таблицы приближенных значений искомой функции у(х). Он является сравнительно грубым и применяется в основном для ориентировочных расчетов. Однако идеи, положенные в основу метода Эйлера, являются исходными для ряда других методов.

Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка (1.4) с начальным условием

x=x₀, y(x₀)=y₀ (1.5)

Требуется найти решение уравнения (1. 4) на отрезке [а, b].

Разобьем отрезок [a, b] на n равных частей и получим последовательность х₀, х₁, х₂, …, х_n, где x_i=x₀+ih (i=0, 1, …, n), а h=(b-a)/n-шаг интегрирования.

В методе Эйлера приближенные значения у(х_i)»y_i вычисляются последовательно по формулам у_i+hf(x_i, y_i) (i=0, 1, 2…).

При этом искомая интегральная кривая у=у(х), проходящая через точку М₀(х₀, у₀), заменяется ломаной М₀М₁М₂… с вершинами М_i(x_i, y_i) (i=0, 1, 2, …); каждое звено М_iM_i+1 этой ломаной, называемой ломаной Эйлера, имеет направление, совпадающее с направлением той интегральной кривой уравнения (1.7), которая проходит через точку М_i. Если правая часть уравнения (1.4) в некотором прямоугольнике R{|x-x₀|£ a, |y-y₀|£ b}удовлетворяет условиям:

|f(x, y₁)- f(x, y₂)| £ N|y₁-y₂| (N=const), (1.6)

|df/dx|=|df/dx+f(df/dy)| £ M (M=const),

то имеет место следующая оценка погрешности:

|y(x_n)-y_n| £ hM/2N[(1+hN)ⁿ-1], (1.7)

где у(х_n)-значение точного решения уравнения (1.4) при х=х_n, а у_n- приближенное значение, полученное на n-ом шаге.

Формула (13) имеет в основном теоретическое применение. На практике иногда оказывается более удобным двойной просчет: сначала расчет ведется с шагом h, затем шаг дробят и повторный расчет ведется с шагом h/2. Погрешность более точного значения у_n^* оценивается формулой

|y_n-y(x_n)|»|y_n^*-y_n| (1.8)

Метод Эйлера легко распространяется на системы дифференциальных уравнений и на дифференциальные уравнения высших порядков. Последние должны быть предварительно приведены к системе дифференциальных уравнений первого порядках [2, c. 57].