Главная страница Случайная страница
Разделы сайта
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Одномодальных законов распределения погрешностей
|
|
Зависимость между энтропийным и среднеквадратическим значениями погрешности может быть представлена как 
, где коэффициент 
подобен коэффициенту формы, связывающему действующее и среднее значения электрического тока.
Коэффициент 
зависит от вида закона распределения вероятностей погрешности, так как погрешности с одним и тем же среднеквадратическим значением 
, но с разными распределениями вероятностей оказывают различное дезинформационное действие. Поэтому действие помехи удобно охарактеризовать не ее действительной мощностью 
, а энтропийной мощностью, т.е. той частью мощности, которая вызывает потерю информации. Исходя из этого, можно дать определение коэффициента .
Коэффициент , равный отношению энтропийной погрешности D к значению среднеквадратической погрешности для данного закона распределения, называется энтропийным коэффициентом данного закона распределения вероятностей.
Наибольшей энтропией при заданном значении мощности, т.е. наибольшим помехосодержанием, из всех возможных в природе законов распределения вероятностей обладает нормальное распределение. Поэтому оно имеет наибольший, предельно возможный энтропийный коэффициент, равный, согласно выражению (6.5.5),
. (6.6.1)
Любое другое распределение, отличное от нормального, может иметь энтропийный коэффициент, только меньший этого значения. Так, например, для равномерного закона распределения среднеквадратическое значение погрешности равно 
. Отсюда энтропийный коэффициент равномерного распределения
. (6.6.2)
Связь энтропийного коэффициента энтропийной мощности помехи Р Э определяется соотношением
, (6.6.3)
где 
– энтропийный коэффициент нормального распределения, 
– полная мощность помехи.
Так как соотношение между энтропийным и среднеквадратическим значениями погрешности определяется величиной энтропийного коэффициента 
, то сравнение этих значений погрешности сводится к исследованию величины энтропийного коэффициента для различных законов распределения вероятности погрешностей.
Распределения погрешности у различных приборов могут отличаться только своей островершинностью или плосковершинностью.
Как было указано выше, энтропийный коэффициент является функцией отношения энтропийной мощности Р Э помехи (погрешности) к ее полной мощности Р. Поэтому при исследовании значения этого коэффициента представляется целесообразным и за параметр характеризующий законы распределения, принять не значение четвертого момента или эксцесса законов, а их относительную энергетическую характеристику. Поэтому примем для характеристики островершинности распределения не величину эксцесса, а величину, обратную корню квадратному из относительного четвертого момента 
, изменяющуюся в пределах от 0 до +1.
Для исследования характера изменения энтропийного коэффициента 
при эволюции закона распределения погрешности от нормального до островершинного с бесконечно большим эксцессом в качестве закона распределения плотности вероятности удобно использовать выражение
(6.6.4)
При изменении а от 2 до 0 это выражение поочередно описывает различные законы распределения. При а = 2 оно дает нормальный закон распределения, а при а ® 0 – распределение с бесконечно возрастающим положительным эксцессом. Поэтому определение энтропии 
, среднеквадратического отклонения а и четвертого момента m4 для этих распределений при различных значениях а позволит найти и проследить все изменения энтропийного коэффициента 
при эволюции закона распределения от островершинного до нормального.
При эволюции закона распределения вида 
с изменением а будет меняться и нормирующий множитель А как функция от a. Найдем эту функцию.
Условием нормирования является
.
Тогда имеем
Учитывая, что 
, где 
– гамма-функция, получаем
и 
(6.6.5)
Определим энтропию этого распределения
(6.6.6)
Отсюда
. (6.6.7)
Определим дисперсию этого распределения
(6.6.8)
Отсюда
(6.6.9)
Определим четвертый центральный момент этого распределения:
(6.6.10)
Таким образом, энтропийный коэффициент для эволюции закона распределения вероятностей от нормального до распределения с большим значением положительного эксцесса выражается соотношением
(6.6.11)
а значение 
– равенством
(6.6.12)
Результаты вычисления значений и 
представлены в табл. 6.6.1.
Таблица 6.6.1
| 
| 
| 
| |
| 0, 00 | 0, 000 | 0, 30 | 1, 677 | |
| 0, 01 | 0, 157 | 0, 31 | 1, 703 | |
| 0, 02 | 0, 269 | 0, 32 | 1, 728 | |
| 0, 03 | 0, 366 | 0, 33 | 1, 753 | |
| 0, 04 | 0, 457 | 0, 34 | 1, 778 | |
| 0, 05 | 0, 535 | 0, 35 | 1, 803 | |
| 0, 06 | 0, 610 | 0, 36 | 1, 826 | |
| 0, 07 | 0, 681 | 0, 37 | 1, 847 | |
| 0, 08 | 0, 749 | 0, 38 | 1, 868 | |
| 0, 09 | 0, 811 | 0, 39 | 1, 889 | |
| 0, 10 | 0, 870 | 0, 40 | 1, 907 | |
| 0, 11 | 0, 928 | 0, 41 | 1, 925 | |
| 0, 12 | 0, 982 | 0, 42 | 1, 940 | |
| 0, 13 | 1, 035 | 0, 43 | 1, 955 | |
| 0, 14 | 1, 086 | 0, 44 | 1, 969 | |
| 0, 15 | 1, 135 | 0, 45 | 1, 983 | |
| 0, 16 | 1, 183 | 0, 46 | 1, 995 | |
| 0, 17 | 1, 229 | 0, 47 | 2, 006 | |
| 0, 18 | 1, 273 | 0, 48 | 2, 015 | |
| 0, 19 | 1, 315 | 0, 49 | 2, 024 | |
| 0, 20 | 1, 355 | 0, 50 | 2, 032 | |
| 0, 21 | 1, 393 | 0, 51 | 2, 039 | |
| 0, 22 | 1, 431 | 0, 52 | 2, 045 | |
| 0, 23 | 1, 466 | 0, 53 | 2, 051 | |
| 0, 24 | 1, 500 | 0, 54 | 2, 060 | |
| 0, 25 | 1, 532 | 0, 55 | 2, 060 | |
| 0, 26 | 1, 563 | 0, 56 | 2, 063 | |
| 0, 27 | 1, 593 | 0, 57 | 2, 065 | |
| 0, 28 | 1, 622 | 0, 575 | 2, 066 | |
| 0, 29 | 1, 650 | |||
|
|