Непрерывные случайные величины и их характеристики

Случайную величину будем называть непрерывной, если ее интегральная функция распределения { < } непрерывна и дифференцируема, за исключением, быть может, конечного числа точек.

Дифференциальной функцией распределения называют производную от интегральной функции

'(.

Вместо термина " дифференциальная функция" используют другое название - " плотность вероятности", поскольку

Свойства дифференциальной функции:

0;

Пусть функция монотонно возрастает и - обратная функция. Тогда

Дифференцируя это равенство по , получаем (если дифференцируема): т.е.

Если монотонно убывающая функция, то аналогично получаются следующие соотношения:

Случай, когда функция является монотонно возрастающей или убывающей, имеет основное прикладное значение.

Пример 86. З акон равномерного распределения вероятностей.

Распределение вероятностей называется равномерным, если на интервале, которому принадлежат все возможные значения случайной величины, дифференциальная функция имеет постоянное значение.

Пусть т.к. то

Пример 87. Показательное распределение.

Решение. Показательное распределение задается своей дифференциальной функцией

Проверим, что

Продолжительность существования радиоактивных частиц описывается показательным распределением.

Характеристиками положения н.с.в., так же как и дискретной, являются математическое ожидание, мода и медиана.

Математическим ожиданием н.с.в. называют число

где - плотность вероятности, и предполагается, что интеграл сходится абсолютно.

Модой н.с.в. называется значение с.в., при котором плотность вероятности максимальна.

Медианой н.с.в. называется такое ее значение M , что

{ < M } = { > M }.

Основными характеристиками рассеивания н.с.в. являются дисперсия, асимметрия и эксцесс.

Дисперсия н.с.в. [ ] находится следующим образом:

Асимметрия - это число где - среднее квадратичное отклонение с.в. . Если распределение симметрично относительно математического ожидания, то A = 0.

Эксцессом с.в. называется число Число E характеризует " крутость" кривой плотности вероятности по сравнению с кривой Гаусса. Для нормального закона распределения E = 0, для островершинных E > 0, для пологих E < 0.

Пример 88. Найти математическое ожидание, медиану, дисперсию и асимметрию для равномерного распределения.

Решение.

Пример 89. Найти математическое ожидание и дисперсию для показательного распределения.

Решение.

Пример 90. Найти характеристики положения с.в. , распределенной по закону Рэлея:

Решение. 1). Поскольку с.в. задана интегральной функцией распределения, то проще начать с нахождения медианы M . Т.к. то

Для вычисления других характеристик положения необходима дифференциальная функция распределения. Найдем ее:

2). Мода M : (M = max { }.

Исследуем функцию на экстремум, для этого найдем ее производную.

3).