Отображения множеств

Алгеброй далеко не исчерпывается все то, что можно сделать с множествами. В математике, как и в жизни, различные объекты могут чему-то соответствовать или не соответствовать, находиться между собой в определенных отношениях или наоборот - не находиться. И основой формализации, если угодно - математизации, здесь также служат множества. То есть между множествами могут устанавливаться различные соответствия и отношения. В математике существует понятие, что множества отображаются друг в друга и даже в самих себя.

Отображением множества А в множество В или функцией f называется соответствие, определяющее для каждого элемента a Î A единственный элемент b Î B. При заданных А и В отображение f с областью определения А и областью значений В сопоставляет каждому элементу а ∈ А элемент f(а) ∈ В. Символически отображение записывается в виде f: А ® В или f(а) = b. Элемент b называется образом элемента а относительно отображения f, аэлемент а называется прообразом элемента b относительно отображения f.

Для данного прообраза образ единственный, но для данного образа прообраз в общем случае единственным не является. Полным прообразом элемента b относительно f называется множество всех его прообразов. Обозначается f^-1(b). Совокупность всех прообразов отображения называется областью определения отображения, совокупность всех образов – областью значений.

Отображение f: А ® В называется:

1. инъективным, если из a₁ ≠ a₂ следует f(a₁) ≠ f(a₂);

2. сюръективным, или отображением А на В если каждый элемент из В имеет хотя бы один прообраз из А ( для любого b Î B выполняется f^-1(b) ≠ Ø);

3. биективным, или взаимно однозначным, если оно одновременно сюръективно и инъективно, т.е если каждому элементу а Î А соответствует единственный элемент f(a) Î В и каждому элементу в Î В соответствует единственный элемент а Î А, такой, что f(a) = b (записывается f: A«B).

Равенство f = g двух отображений означает по определению, что их соответствующие области совпадают. Отображение f^-1 является обратным к f, если f(a) = b, а f^-1(b) = a.

Если даны два отображения f: А ® В и g: B ® C, то произведением (композицией, суперпозицией) этих отображений называют отображение h: А ® C, определяемое равенством h(a) = g(f(a)) (математическая запись – h = g · f)

Композиция отображений в общем случае некоммутативна, то есть g · f ≠ f · g.

Отображение е множества А в себя называют единичным (тождественным), если e(a) = a для любого a Î A, то есть переводит каждый элемент aÎ A в себя.

Отображения f: А ® В и g: B ® А называются взаимно – обратными, если g · f = f · g = e, записывается g^-1= f, f^-1 = g. Отображения, для которых существуют обратные, называются обратимыми.

Свойства обратимых отображений:

1. Всякое обратимое отображение имеет единственное обратное отображение;

2. Отображение f: А ® В имеет обратное тогда и только тогда, когда оно биективно (взаимно – однозначно);

3. Если f: А ® В и g: B ® С биективные отображения, то биективна и их композиция f · g, при этом (f · g)^-1 = f ^-1 · g ^-1.

Пример 6. Область определения – группа 941, сдающая экзамен по математическим основам; область значений – отл, хор, уд, неуд - множество оценок. И множество пар: Иванов – отл, Петров – хор, Сидоров – отл. А Федоров – не явился. Получили некое соответствие.

Рассмотрим данное соответствие.

1. В данном примере соответствие не всюду определенное, поскольку для Федорова в этом соответствии нет пары. (Преподаватель написал в ведомости Федоров – н/я, но это не попадет в соответствие, поскольку " н/я" нет в множестве допустимых значений!). Если бы деканат своевременно исключил из ведомости Федорова, как отчисленного, то это соответствие стало бы всюду определенным.

2. Соответствие функционально, поскольку каждому студенту соответствует не более одной оценки. Такое соответствие называют функцией. В данном случае из-за Федорова это не всюду определенная функция. Никакой разницы со школьной функцией кроме той принципиальной, что здесь аргументами и значениями могут быть не только числа, а любые объекты. Если бы за один экзамен студенты могли получать несколько оценок, то соответствие было бы нефункциональным. То есть не было бы функцией.

3. Данное соответствие неинъективно, поскольку отл получил более, чем один студент. Если бы Сидоров получил бы не отл, а уд (или неуд), то соответствие было бы инъективным.

4. Данное соответствие несюръективно, поскольку на экзамене были использованы не все возможные оценки. На реальных экзаменах обычно бывает задействован весь возможный спектр оценок, поэтому это соответствие бывает " по жизни" сюръективным. Если отобразить множество студентов в группе на множество фамилий в группе, то это будет отображение множества студентов намножество фамилий. В данном случае имеется сюръективное соответствие. Если же отобразить множество студентов группы на множество фамилий студентов университета, то говорят, что имеет место отображение множества студентов в множество фамилий. То есть в области значений будут и " незадействованные фамилии". В данном случае имеется несюръективное соответствие.

5. Соответствие, которое одновременно всюду определено, функционально, инъективно и сюръективно является биективным. Такое соответствие и называется отображением. ▲

Пример 7. Пусть R+ – множество положительных вещественных чисел. Тогда отображения f: R ® R, g: R ® R+, h: R+ ® R+, определенные одним и тем же правилом x→ x², все различны: f – ни сюръективно, ни инъективно, g – сюръективно, но не инъективно, а отображение h – биективно. Таким образом, задание области определения и области значений – важная часть определения отображения. ▲