Главная страница Случайная страница Разделы сайта АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Метод трапеций
Для получения формулы трапеций интервал интегрирования [ a, b ] разбивается на n подынтервалов равной длины (шагов) точками: x 0 = a, x 1, x 2, …, xi, xi +1, …, xn = b так, что xi +1 - xi = h = , i = 1, 2, …, n.
На каждом отрезке (xi, xi +1) дугу Xi Xi +1 графика подынтегральной функции y = f (x) заменяют стягивающей ее хордой (рис. 2.5) и вычисляют площади трапеций xiXi Xi +1 xi +1, высота которых равна h, а основания определяются значением функции f (xi), f (xi+1). Рис. 2.5
Так как площадь трапеции равняется полусумме оснований, умноженной на высоту, интеграл приближенно равен сумме площадей всех полученных трапеций: = = = = [ f (x 0) + 2 f (x 1) + 2 f (x 2)+…+ + 2 f (xn- 1) + f (xn)]= = [ f (xa) + 2 f (x 1) + 2 f (x 2)+…+ + 2 f (xn- 1) + f (xb)]= = [ f (xa) + f (xb) + ]. (7)
Таким образом, формула трапеций имеет вид:
I = ≈ . (8)
Точность интегрирования для этого метода приближенно равняется ε ≈ h2.
Пример (продолжение). □ Пользуясь формулой трапеций, вычислить при h = 0, 2. Решение. Вычисление интеграла методом трапеций (8) выполним в таблице Excel (рис. 6, 6- а).
Режим решения Рис. 6
∑ = -0, 68 -1, 12 -1, 32 -1, 28 = -4, 4 I = 0, 1·[(0-1)-2·4, 4] = -0, 98
Режим показа формул Рис. 6 - а
Разбивая интервал интегрирования на большее число отрезков, например, на 10, можно получить более точное решение (рис. 7).
Рис. 7
|