Метод прямоугольников

Для получения формулы прямоугольников интервал интегрирования [ a, b ] разбивается на n подынтервалов равной длины (шагов) точками: x ₀ = a, x ₁, x ₂, …, x_i, x_{i +1}, …, x_n = b так, что

x_{i +1} - x_i = h = , i = 1, 2, …, n. (2)

На этих подынтервалах строятся прямоугольники, высота их определяется значением функции f (x) в какой либо точке подынтервала.

Если f (x_i) определяется для левой границы каждого подынтервала (рис. 2.1), то формула прямоугольников имеет следующий вид:

I₁ = ≈ (3)

и называется формулой левых прямоугольников.

Если f (x_i) определяется для правой границы каждого подынтервала (рис. 2), то

I₂ = ≈ (4)

и называется формулой правых прямоугольников.

Рис. 1 Рис. 2

Если функция монотонна на отрезке [ a, b ], то в одном случае получается значение интеграла I с недостатком I₁, а в другом – с избытком I₂. Более точное значение I получают при усреднении величин:

I = . (5)

Если f (x_i) определяется для середины каждого подынтервала, то формула прямоугольников имеет следующий вид:

I₃ = ≈ (6)

и называется формулой средних прямоугольников.

Точность интегрирования для этих методов приближенно равняется ε ≈ h.

Пример.

С помощью формул левых, правых и средних прямоугольников вычислить , если h = 0, 2.

Точное решение:

○ Вычисление интеграла методом прямоугольников выполним в таблице Excel (рис. 3, 3- a).

Значения интервала интегрирования [0, 1] соответственно поместить в ячейки B3 и F3. Интервал интегрирования разобьем на 5 подынтервалов (n = 5). Введем значение n в ячейку В2. Шаг интегрирования вычислим в ячейке F2 по формуле

h = → h = .

Рис. 3 (Режим решения)

Режим показа формул

Рис. 3 - а

I) Для приближенного вычисления интеграла по формуле левых прямоугольников (3) требуется вычислить значения функции f (x) = 3 x ² - 4 x в точках (2):

x ₀ = a= 0;

x ₁= x ₀ + h= 0+0, 2 =0, 2;

x ₂ = x ₁ + h = 0, 2 + 0, 2 = 0, 4;

x ₃ = x ₂+ h = 0, 4 + 0, 2 = 0, 6;

x ₄ = x₃+h = 0, 6 + 0, 2 = 0, 8.

Вычисление значений x ₀, x ₁, x ₂, x ₃, x ₄, представлено в блоке ячеек B6: B10, а соответствующие им значения функции – в блоке ячеек С6: С10.

Затем следует вычислить их сумму (в ячейке С11) и полученное значение умножить на шаг интегрирования h (в ячейке С12):

I =.

II) Для приближенного вычисления интеграла по формуле правых прямоугольников (4) требуется вычислить значения функции f (x) = 3 x ² - 4 x в точках:

x ₁= x ₀ + h= 0 + 0, 2 = 0, 2;

x ₂ = x ₁ + h = 0, 2 + 0, 2 = 0, 4;

x ₃ = x ₂+ h = 0, 4 + 0, 2 = 0, 6;

x ₄ = x ₃ +h = 0, 6 + 0, 2 = 0, 8.

x ₅ = x ₄ +h = 0, 8 + 0, 2 = 1, 0.

Вычисление значений x ₁, x ₂, x ₃, x ₄, x ₅ представлено в блоке ячеек Е6: Е10, а соответствующие им значения функции – в блоке ячеек F6: F10.

Затем следует вычислить их сумму (в ячейке F11) и полученное значение умножить на шаг интегрирования h (в ячейке F12):

Приближенное значение интеграла, вычисленное по формуле левых прямоугольников равно -0, 88, а по формуле правых прямоугольников равно -1, 08.

Их среднее значение ближе к точному, равному -1.

III) Для приближенного вычисления интеграла по формуле средних прямоугольников (5) требуется вычислить значения функции f (x) = 3 x ² - 4 x в точках:

(x_{i -1}+ x _i)/2 (блок ячеек G6: H12), их сумму (ячейка H11), полученное значение умножить на шаг интегрирования h (ячейка H12).

Разбивая интервал интегрирования на большее число отрезков, например, на 10, можно получить более точное решение (рис. 4).■

Рис. 4