Для равноотстоящих узлов интерполяции

Вычисление значений функции для значений аргументов, лежащих в начале таблицы, удобно проводить, пользуясь первой интерполяционной формулой Ньютона. В этом случае интерполяционный многочлен представляют в виде:

F (x) = P_n (x) = a ₀ + a ₁(x – x ₀) + a ₂(x – x ₀)(x – x ₁) +

+ a ₃(x – x ₀)(x - x ₁)(x - x ₂) +... + a_n (x – x ₀)(x - x ₁)(x- x ₂)…(x – x_{n -1}), (3)

при этом неизвестные значения коэффициентов a ₀, a ₁, a ₂, …, a_n вычисляют по формуле

(i = 0, 1, 2, …, n), (4)

то есть

при i = 0 , [0! =1, Δ ⁰ y ₀ = y ₀],

при i = 1 = ,

при i = 2 = , и т. д.

Обратите внимание, что . (5)

После подстановки найденных коэффициентов a_i в выражение (3), получают первую интерполяционную формулу Ньютона:

(6)

Пример.

Используя первую интерполяционную формулу Ньютона, построить интерполяционный многочлен для функции, заданной таблицей (табл. 1). При составлении таблицы конечных разностей контролировать правильность вычислений.

Таблица 1

Решение.

○ Степень многочлена определяется порядком конечных разностей, т.е. для рассматриваемого примера интерполяционный многочлен будет иметь вид

F (x) = P_n (x) = a ₀ + a ₁(x – x ₀) + a ₂(x – x ₀)(x – x ₁) + a ₃(x – x ₀)(x - x ₁)(x - x ₂) +

+ a ₄(x – x ₀)(x - x ₁)(x - x ₂)(x – x ₃) + a ₅(x – x ₀)(x - x ₁)(x - x ₂)(x – x ₃) (x - x ₄) (7)

или

(8)

Вычисление конечных разностей, значений коэффициентов интерполяционного многочлена (особенно высокого порядка), а также значений функции для заданных значений аргументов удобно выполнять в электронной таблице (рис. 1), так как «вручную» выполнять подобные вычисления долго и утомительно.

Режим вычислений

Рис. 1

В верхнюю часть таблицы следует ввести исходные данные: значение шага интерполяции h, который по условию равен 1, значения аргумента x и соответствующие им значения функции f (x), а также значение аргумента x = 2, 5, для которого требуется вычислить значение заданной функции, с помощью построенного интерполяционного многочлена.

Реализация вычисления конечных разностей выполняется, как показано в таблице. Значения конечных разностей и значение f (x ₀), которые будут использованы в вычислениях по формуле (2), выделены в таблице полужирным начертанием. Правильность полученных конечных разностей подтверждают результаты вычислений, выполненные по формуле (2) (в ячейках D11 и С12, Е11 и D12 и т.д.).

Вычисление коэффициентов интерполяционной формулы (7) целесообразно выполнять, используя свойство (5)

,

а именно:

i = 0

i = 1

i = 2 (9)

i = 3

I = 4

i = 5 = .

Для этого в блоке ячеек В16: В20 реализовано вычисление промежуточных значений коэффициентов таким образом, чтобы каждый последующий элемент столбца получался из предыдущего, умножением на . Это позволит при необходимости легко настраивать полученную таблицу на решение задач любой размерности.

В блоке ячеек D16: D20 вычисляются значения коэффициентов интерполяционного многочлена a ₀, a ₁, …, a ₅ (8), путем умножения значений f (x ₀), и конечных разностей, полученных в блоке С5: H5 на соответствующие им значения промежуточных коэффициентов (В16: В20).

В соответствии с (7), каждый коэффициент a ₁, a ₂, a ₃, a ₄, a ₅ соответственно требуется умножить на (x – x ₀), (x – x ₀)(x - x ₁), (x – x ₀)(x - x ₁)(x - x ₂), (x – x ₀)(x - x ₁)(x - x ₂)(x – x ₃) (x - x ₄). Поэтому в блоке ячеек I5: I10 предусмотрено вычисление значений (x - x_i), которые затем используются для вычисления их произведений в блоке Н16: Н20, причем каждый последующий элемент получается из предыдущего.

В блоке ячеек I15: I20 выполняется вычисление значений каждого члена интерполяционного многочлена, просуммировав которые получается значение интерполяционного многочлена для x = 2, 5.

Таким образом, получено выражение интерполяционного многочлена:

F (x) = P ₅(x) = 8, 5 + 2(x -0) - 0, 25(x -0)(x -1) + 0, 08(x -0)(x -1)(x -2) –

-0, 04(x -0)(x -1)(x -2)(x -3) + 0, 02(x -0)(x -1)(x -2)(x -3)(x -4). (10)

Коэффициенты многочлена, полученные при ручном счете по формуле (9), совпадают со значениям коэффициентов, полученными в Excel (см. столбец D15: D20).

Значение F (2, 5) = 12, 78 (получено в ячейке I21). Подставив значение x = 2, 5 в (10), получим:

F (2, 5) = P ₅(2, 5) = 8, 5 + 2(2, 5-0) - 0, 25(2, 5-0)(2, 5-1) + 0, 08(2, 5-0)(2, 5-1)(2, 5-2) –

-0, 04(2, 5-0)(2, 5-1)(2, 5-2)(2, 5-3)+0, 02(2, 5-0)(2, 5-1)(2, 5-2)(2, 5-3)(2, 5-4) = 12, 78.

Значение F (x) при x = 2, 5 при ручном счете и вычислениями в Excel совпадают.

На рис. 2 показана таблица, представленная в режиме формул, в которой алгоритм описанных вычислений становится более наглядным.

Режим формул

Рис. 2.

При использовании электронных таблиц не представляет сложности вычисление значений многочлена для других значений х. Для этого достаточно в ячейке I2 изменить значение х, и мгновенно получим новое значение многочлена. Так же быстро можно изменить исходные значения аргумента х и соответствующие им значения функции y. Для этого в блоки ячеек В5: В10 и С5: С10 – следует ввести новые значения.

Заполнять таблицу тоже достаточно просто, если разумно использовать абсолютную и относительную адресацию ячеек, на которые делаются ссылки в формулах, т.е. применять автозаполнение столбцов и строк. Настроить таблицу на построение многочленов более высоких порядков тоже не сложно, вставив в нужном месте нужное количество строк и столбцов и заполнить нужные ячейки автозаполнением.●