Задание 4. Приближенное интегрирование дифференциальных уравнений 1 –го порядка методом Эйлера Цель работы

Приближенное интегрирование дифференциальных уравнений 1 –го порядка методом Эйлера

1. Цель работы

Изучение метода Эйлера интегрирования дифференциальных уравнений 1 – го порядка.

1. Основные теоретические положения

Согласно методу Эйлера для решения дифференциального уравнения 1-го порядка

(20)

с начальным условием

(21)

(так называемая задача Коши) отрезок [ a, b ], на котором ищется решение задачи, разбивают на n частей с шагом h = (b – a) / n и находят значения

y_k = y (x_k) в точках x_k = x₀ + k× h (k = 0, 1,.. n). Очевидно, что при этом x ₀ = a, x_n = b. Значения y_k+1 определяется по формуле

, (22)

которая получается заменой производной на ее разностный аналог.

Погрешность вычислений на каждом шаге составляет

(23)

Пример 1.

Решить задачу Коши для обыкновенного дифференциального уравнения 1-го порядка методом Эйлера. Вычисления выполнять с четырьмя десятичными знаками на отрезке [0, 2; 1, 2] с шагом 0, 1. Уравнение:

○ Для численного решения заданного уравнения с начальным условием нам потребуется выполнить шагов. На каждом шаге надо вычислить значения и .

Первый шаг. (k = 0). Имеем:

. Вычислим

.

Тогда и, следовательно, по формуле (22)

.

Делаем следующий шаг.

Второй шаг. (k= 1).

.

Вычислим .

Тогда и .

И так далее.

Для удобства, все вычисления удобно представить в виде таблицы

Таким образом, задача решена. ●