Студопедия

Главная страница Случайная страница

Разделы сайта

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






Задание 2. Приближенное решение уравнений.






Приближенное решение уравнений.

Отделение корней. Уточнение корней.

 

1. Цель работы

Ознакомиться с численными методами решения конечных уравнений.

2. Основные теоретические положения

2.1. Постановка задачи

В общем случае уравнение с одним неизвестным имеет вид

f (x)=0, (7)

где f (х) – заданная функция, определенная на отрезке [ a, b ]. Всякое число x (действительное или мнимое) на отрезке [ a, b ], обращающее уравнение в тождество:

f (x)є0 (8)

называется корнем уравнения или его решением.

Решение задачи приближенного определения корней уравнения состоит из двух этапов:

1) отделение корней, т.е. нахождение подинтервалов [a, b] на отрезке [ a, b ], которые содержат только один корень уравнения;

2) уточнение корней, т.е. непосредственное вычисление значений корней на найденных подинтервалах [a, b] с заданной точностью e.

 

2.2. Отделение корней

Графический способ отделения корней заключается в построении графика функции f (x) на отрезке [ a, b ]. Точка пересечения графика функции с осью абсцисс дает приближенное значение корня уравнения. Найденные таким образом приближенные значения корней позволяют выделить отрезки [a, b], на которых при необходимости можно выполнить уточнение корней (рис.1).

 

f (x)

 

 

x1 x2 x3

a1 b1 a2 b2 a3 b3 х

Рис. 1

При отделении действительных корней расчетным путем для непрерывных функций f (x) можно руководствоваться следующими соображениями:

если на концах отрезка [ a, b ] функция имеет разные знаки (f (af (b)< 0), то между точками а и b на оси абсцисс имеется нечетное число корней;

если же f (af (b)> 0, то между а и b имеется четное число корней или их совсем нет;

если f (af (b)< 0 и либо первая производная (x), либо вторая производная f ¢ ¢ (x) не меняют знака на этом отрезке, то уравнение имеет единственный корень на отрезке [ a, b ].

 

2.3. Уточнение корней

Численный метод, при котором уточняется первоначальное грубое приближение, называется итерационным методом или методом последовательных приближений. Каждый шаг этого метода называется итерацией.

Если при последовательных итерациях (к = 1, 2,...) получаемые величины х (к) все ближе приближаются к истинному значению корня x, то итерационный процесс будет сходящимся, в противном случае – расходящимся. При этом различают монотонную и колебательную сходимость (расходимость) в зависимости от того, с одной или с разных сторон осуществляется приближение (удаление) к (от) искомому решению.

Для реализации итерационного процесса должны быть заданы начальное приближение х (0 ) и точность e, с которой требуется найти решение уравнения. Первоначальное грубое приближение х (0 ) следует задавать из физических соображений и по результатам отделения корней. Все остальные приближения получаются из итерационной формулы, соответствующей используемому методу решения уравнения.

Условие окончания итерационного процесса (нахождения значения корня с точностью e) имеет вид

Ѕ x ( к +1) - x ( к )Ѕ = < e, k = 0, 1, 2, 3, …. (9)

 

 

2.3.1 Уточнение корней Методом Ньютона

Опишем процедуру уточнения корня , который отделён и находится на отрезке . Уточнение корня проведём, используя итерационную формулу Ньютона

 

, (10)

где – приближение к корню на k- ом шаге (на k- ой итерации), . В пределе: при .

Начальное приближение – это любая точка из отрезка , удовлетворяющая условию сходимости итерационного процесса (1)

 

. (11)

 

Обычно в качестве значения используют либо левый, либо правый конец отрезка .

Пример 1.

Уточнить корень уравнения на отрезке , сделав три шага по формуле Ньютона.

○ Вычислим первую и вторую производные функции . Получим и .

Итерационное уравнение в нашем случае запишется так

 

,

 

или после приведения дробей к общему знаменателю в правой части последнего соотношения, получим более удобное для дальнейших вычислений уравнение

 

. (12)

 

В качестве начального приближения возьмём правый конец отрезка .

Проверяем условие сходимости (11)

 

.

Условие сходимости метода Ньютона для выполнено. Последовательно применяя соотношение (3), получим:

 

; ;

.

 

Уточнённое значение корня .

В качестве оценки абсолютной погрешности, полученного результата можно использовать величину .●






© 2023 :: MyLektsii.ru :: Мои Лекции
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав.
Копирование текстов разрешено только с указанием индексируемой ссылки на источник.