Корневые методы оценки качества

Поскольку корни ПФ однозначно определяют вид переходного процесса, их можно использовать для оценки: 1) запаса устойчивости и, 2) быстродействия.

Примечание: Обычно обходятся исследованием только полюсов ПФ Φ (s), т.е. корней характеристического уравнения 1+ W (s)=0.

Система будет склонна к колебаниям, если имеются комплексные корни вида − α ± j β. Оценить эту склонность можно используя показатель запаса устойчивости – колебательность:

μ =β /α, 0< μ < ∞

где: α – коэффициент затухания; β – круговая частота колебаний.

Колебательность определяет другой показатель – затухание амплитуды колебаний x (t)= Ce ^{− α t} sin(β t +φ) за период:

.

Задание определенной колебательности заставляет ограничить область расположения корней.

Колебательность системы μ можно найти используя подстановку s = ze^{j (90− φ)}, что соответствует повороту осей плоскости корней на угол(90− φ). Далее, используя любой критерий устойчивости, подбирают угол φ, при котором система будет находиться на границе устойчивости. И тогда: μ =tgφ =β /α.

Для оценки быстродействия может использоваться понятие степени быстродействия η – это абсолютное значение вещественной части ближайшего к мнимой оси корня. Т.е. если этот корень − α ± j β, то η равна коэффициенту затухания α.

И действительно, составляющая в переходном процессе x _η (t)= C _η e ^{− η t} sin(β t +φ), затухает тем медленней, чем меньше η. Если в конце переходного процесса амплитуда колебаний равна Δ C _η , то веремя переходного процесса:

.

Задание определенной степени быстродействия заставляет ограничить область расположения корней.

Степень быстродействия η можно найти используя постановку s = z − η _var, что соответствует смещению корней на величину η _var. Далее, используя любой критерий устойчивости, подбирают значение η _var, при котором система будет на границе устойчивости. И тогда: η =η _var.