Свойства функции распределения

1. Функция распределения является неубывающей функцией.
2. Область значений:
3. Асимптотические свойства: (другими словами, прямые у =0 и у =1 являются асимптотами (левой и правой соответственно) графика y = F (x)).
4. Вероятность того, что в произвольном испытании значение случайной величины Х будет принадлежать полуинтервалу где и – произвольные числа, вычисляется по формуле

.

Доказательство. Значение функции распределения равна вероятности соответствующего события, но область значений вероятности есть отрезок – тем самым доказано свойство 2.

Используя определение функции распределения, получаем . Но произвольное значение случайной величины принадлежит числовой прямой, поэтому событие является невозможным. Вероятность невозможного события равна нулю (см. § 1.3), поэтому

Аналогично, учитывая, что событие является достоверным, а вероятность такого события равна 1, получаем

Нетрудно видеть, что

причем события правой части этого равенства несовместны. Принимая во внимание определение функции распределения и теорему сложении вероятностей для несовместных событий, получаем

что равносильно свойству 4.

Доказательство свойства 1 мы оставляем читателю в качестве упражнения (указание: используйте рассуждении от противного и свойство 4).