Решение типовых задач. Пример 6.1. Определить число кладовщиков, распределяющих инструмент, оптимальное с точки зрения минимума потерь рабочего времени как у рабочих

Пример 6.1. Определить число кладовщиков, распределяющих инструмент, оптимальное с точки зрения минимума потерь рабочего времени как у рабочих, так и у кладовщиков. Данные для решения

– интенсивность обращения рабочих к кладовщикам;

– интенсивность обслуживания заявок рабочих на инструмент одним кладовщиком;

– стоимость 1 часа простоя одного рабочего;

– стоимость 1 часа простоя одного кладовщика.

Решение. Пусть за смену за инструментом обратится N _р рабочих. Если каждый из них в среднем проведет в очереди время , то потери составят

.

Если в течение смены каждый кладовщик будет время ожидать прихода рабочих, то потери составят

,

где n – число кладовщиков.

Суммарные потери

.

Так как ,

то

является функцией от n. Следовательно, задача сводится к определению такого значения n, при котором величина S обращается в минимум. Т.о., задача сводится к поиску зависимости и от n.

Организационно система раздачи инструмента построена таким образом, что имеется одно окно раздачи (общая очередь рабочих), которое обслуживается несколькими кладовщиками. Т.о., имеем модель многоканальной СМО с ожиданием и с одной общей очередью. Число мест в очереди неограничено.

Переходим к числовым расчетам, связанным с определением оптимального значения n. Вычислять будем только для тех случаев, когда . Поэтому для n= 1 расчетов вести не следует, т.к. , а это значит, что один кладовщик не справляется с очередью и очередь увеличивается непрерывно в течение всей смены.

Определим по формулам (6.14), (6.16), (6.17) и для различных значений n. Для n = 2 имеем

.

Для n = 3 имеем

;

;

.

Для n = 4 получим

.

Если принять за единицу времени минуту, то в течение 8-часового рабочего дня на пункт раздачи инструмента придет число рабочих

.

Т.о. число заявок в течение рабочего дня равно 768. Один кладовщик затрачивает на выполнение одной заявки в среднем время, равное . Тогда общее время занятости кладовщиков равно

Ежедневная продолжительность простоя кладовщиков определяется по формуле

для n = 2

для n = 3

для n = 4

Для каждого из этих случаев вычислим время, потерянное рабочими из-за ожидания в очереди. Имеем

.

Для n = 2 имеем

Для n = 3 получим

Для n = 4 имеем

Общая ежедневная стоимость времени, потерянного рабочими и кладовщиками

.

Для n = 2 имеем

.

Для n = 3 получим

.

Для n = 4 имеем

.

Следовательно, S достигает минимума при n = 3.

Таким образом, три кладовщика в данных условиях обеспечивают минимум потерь, связанных со случайным характером обслуживания рабочих.