Решение типовых задач

Пример 5.1. Система представляет собой техническое устройство, состоящего из m узлов (m = 3) и время от времени (в моменты подвергается профилактическому осмотру и ремонту. После каждого шага (момент осмотра и ремонта) система может оказаться в одном из следующих состоянии: – все узлы исправны; – один узел заменен новым, остальные исправны; – два узла заменены новыми, остальные исправны; – все три узла заменены новыми. Рассматривая состояния системы как марковскую цепь, вычислить вероятности состояний после трех шагов, т.е. В начальный момент времени все узлы исправны. Матрица перехода имеет вид:

Таким образом:

=?

Решение. Определим матрицу :

Так как в начальный момент времени система находится в состоянии , то:

Из (5.7) имеем:

;

.

;

Пример 5.2. Задана матрица перехода вида:

Найти матрицу финальных вероятностей Т вида:

Решение. Из ( 5.9 ) имеем для n = 3:

или

( 5.10 )

Из ( 5.10 ) имеем:

( 5.11 )

Из ( 5.11 ) имеем:

или

( 5.12 )

Решим систему уравнений ( 5.12 ), используя правило Крамера. Имеем:

Таким образом: