Биномиальное распределение и асимптотические формулы

Пример 1. По мишени производят четыре независимых выстрела. Вероятность попасть в мишень при каждом выстреле равна 0, 8.

Для СВ X – числа возможных попаданий в мишень, составить ряд распределения и найти M (X), D (X), s(X).

Решение. Четыре независимых выстрела по мишени можно рассматривать как последовательность из четырех независимых испытаний, в каждом из которых событие А (попадание в мишень при одном выстреле) может появиться с вероятностью 0, 8.

Поэтому СВ X имеет биномиальное распределение с параметрами
p = 0, 8 и n = 4. Используя формулу (1.33) где
q = 1 – p, получим

Поверка: å p_i = 1.

Найдем числовые характеристики СВ X, распределенной по биномиальному закону.

M (X) = n × p = 4 × 0, 8 = 3, 2

D (X) = n × p × q = 4 × 0, 8 × 0, 2 = 0, 64

Пример 2. Устройство состоит из 1000 элементов, работающих независимо один от другого. Вероятность отказа любого элемента в течение времени Т равна 0, 001. Найти вероятность того, что за время Т откажут ровно два элемента.

Пусть СВ X – число элементов, которые могут отказать за время Т. Так как p мало, а n достаточно велико, то искомую вероятность вычислим приближенно по формуле Пуассона (1.41)

где l = n × p = 1000 × 0, 001 = 1.

Пример 3. Вероятность выхода из строя изделия за время испытания на надежность p = 0, 05. Какова вероятность того, что за время испытаний 100 изделий выйдут из строя:

1) не менее 4 изделий,

2) ровно 5 изделий.

1) По условию n = 100, p = 0, 05, q = 1 – p = 0, 95.

Решение. Воспользуемся интегральной теоремой Муавра-Лапласа

Значения функции Лапласа возьмем из таблицы 2.

2) Воспользуемся локальной теоремой Лапласа (1.35)

где

Из таблицы находим значение функции
j(0) = 0, 3989.