Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

Понятие случайной величины

В практической жизни мы встречаемся с различными величинами. При оклейке комнаты обоями нас интересует площадь комнаты, ее высота, количество проемов и их размеры и т.д. Значения каких-то величин нам известны: количество дней в неделе, температура воздуха в комнате, количество уроков в неделю. Значение других величин можно с помощью измерений, пересчета, проведенного эксперимента. Величины, которые могут быть получены в результате опыта, эксперимента, исследования могут принимать любое из возмож­ных значений, но точно заранее неизвестно какое, заслуживают особого внимания при изучении теории вероятностей.

Определение. Случайной называется величина, которая в результате опыта может принять то или иное возможное значение, неизвестное заранее, но обязательно одно.

Приведем примеры случайных величин.

1. Число выпавших «гербов» при пятикратном бросании монеты

2. Число бракованных изделий в случайно отобранной партии из 20 изделий.

3. Дальность полета артиллерийского снаряда.

4.скорость движения человека.

5. Число мальчиков, родившихся в течение суток в опре­деленной стране.

В примерах 1, 2 и 5 случайная величина может принимать отдельные изолированные значения, которые можно заранее перечислить. Так, в примере 1 такими значениями являются 0, 1, 2, 3, 4, 5, в примере 2: 0, 1, 2, 3,..., 20, в примере 5: 0, 1, 2, 3, 4, 5,.... величин.

В примерах 3 и 4 возможные значения случайной величины не отделены друг от друга и заполняют некоторый интервал.

Определение. Дискретной случайной величиной называ­ют такую случайную величину, множество возможных значений которой либо конечное, либо бесконечное, но счетное.

Примерами дискретной случайной величины являются число учащихся, опрошенных на уроке; число солнечных дней в году.

Определение. Непрерывной случайной величиной назы­вают такую случайную величину, которая может принять любое значение из некоторого конечного или бесконечного интервала.

Примерами непрерывной случайной величины слу­жат: время безаварийной работы станка; расход горючего на единицу расстояния; количество осадков, выпавших в сутки.

Случайные величины будем обозначать заглавными бу­квами конца латинского алфавита — X, Y, Z, а их возможные значения — соответствующими малыми буквами — х, у, z. Например, X —число шахматных партий, окончившихся ни­чейным результатом, из трех сыгранных. В этом случае величина X может принять следующие значения: х ₁=0, х ₂=1, х ₃=2, х ₄=3.

Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины

На первый взгляд может показаться, что для задания дискретной случайной величины достаточно пере­числить все ее возможные значения. В действительности это не так: случайные величины могут иметь одинако­вые перечни возможных значений, а вероятности их различные. Поэтому для задания дискретной случайной величины недостаточно перечислить все возможные ее значения, нужно еще указать их вероятности.

Например, при бросании игральной кости число выпавших очков – случайная величина, ее значения: 1, 2, …6. Найдем соответствующие вероятности и оформим данные в таблице:

Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями; его можно задать таблично, аналити­чески (в виде формулы) и графически.

При табличном задании закона распределения дискрет­ной случайной величины первая строка таблицы содержит возможные значения, а вторая — их вероятности:

Эту таблицу называют рядом распределения.

Приняв во внимание, что в одном испытании случайная
величина принимает одно и только одно возможное зна­-
чение, заключаем, что события X = x_lt X = х₂,..., X= х_п
образуют полную группу; следовательно, сумма вероят­-
ностей этих событий (сумма вероятностей второй
строки таблицы) равна единице..

Пример. В денежной лотерее выпущено 100 билетов. Разыгры­вается один выигрыш в 50 руб. и десять выигрышей по 1 руб. Найти закон распределения случайной величины X — стоимости возможного выигрыша для владельца одного лотерейного билета.

Решение. Напишем возможные значения X: х ₁ = 50, х ₂ = 1, х ₃= 0. Вероятности этих возможных значений таковы: p_{1= 0, 01,} p_{2 = 0, 1 и} p_{3 = 0, 89}

Напишем искомый закон распределения:

Контроль: 0, 01+0, 1+0, 89=1.

Для наглядности закон распределения дискретной случайной величины можно изобразить и графически, для чего в прямоугольной системе координат строят точки (х_i, p_i), а затем соединяют их отрезками прямых. Полученную фигуру называют многоугольником распре­деления.

Ряд распределения можно задать графически, если по оси абсцисс отложить возможные значения случайной величины, а по оси ординат — вероятности этих значений. Соединив точки (х_i; y_t) последовательно отрезками прямой линии, получим ломаную, которая называется многоугольником рас­пределения вероятностей.

Воспользовавшись результатами, полученными при решении задачи, построим мно­гоугольник распределения стоимости возможного выигрыша для владельца одного лотерейного билета.

Многоугольник распреде­ления, как и ряд распределения, полностью характеризует случайную величину и является одним из способов (графичес­ким) задания закона распределения.

Заметим, что сумма ординат многоугольника равна еди­нице. Это свойство многоугольника распределения является определяющим. Если в прямоугольной системе координат дана некоторая ломаная, удовлетворяющая определению фун­кции и обладающая указанным выше свойством, то такая ломаная задает закон распределения некоторой случайной величины.