Проверка гипотез о наклоне и коэффициенте корреляции

Если анализ остатков подтверждает, что условия при­менимости метода наименьших квадратов не нарушаются, и модель простой линейной регрессии является адекватной, на основе выборочных данных можно утверждать, что между переменными в генеральной совокупности существует линейная зависимость.

Наряду с этим, проверяя, равен ли наклон генеральной совокупности нулю, можно определить, существует ли статистически значимая зависимость между переменными X и Y. Если эта гипотеза отклоняется, можно утверждать, что между переменными X и Y существу­ет линейная зависимость. Нулевая и альтернативная гипотезы формулируются следующим образом:

Н о: = 0 (нет линейной зависимости),

Н ₁: не равно 0 (есть линейная зависимость).

Тестовая статистика для проверки гипотезы о наклоне генеральной совокупности b ₁ вычисляется по формуле (24) с помощью t -критерия.

По определению t -статистика равна разности между выборочным наклоном и гипо­тетическим значением наклона генеральной совокупности, деленной на среднеквад­ратичную ошибку оценки наклона:

, (24)

тестовая статистика t имеет t -распределение с n -2 степенями свободы.

Иными словами, на изменения параметров X и Y оказывают влияние не только случайные факторы, а имеется устойчивая функциональная связь.

Доверительный интервал, содержащий наклон

Для проверки гипотезы о существовании линейной зависимости между переменны­ми можно построить доверительный интервал, содержащий наклон и убедиться, что гипотетическое значение не принадлежит этому интервалу.

Центром доверительного интервала, содержащего наклон , является выборочный наклон b ₁, а его границами — величины,

(25)

Если границы интервала для внутри себя не содержат нуль, то можно утверждать, что параметрами X и Y существует стати­стически значимая линейная зависимость. Если бы доверительный интервал содержал нуль, между переменными не было бы зависимости.

7. Оценка математического ожиданияотклика