Продолжение программы для расчета

% предроложим, что связь между параметрами x и y является линейной

% Вычислим суммы, необходимые для расчета коэффициентов уравнения линейной регрессии

% и коэффициента детерминации R^2;

xi = sum(x);

% xi =

% 28.9000

yi = sum(y);

% yi =

% 136

xi2 = sum(x.^2);

%xi2 =

% 99.4100

xiyi = sum(x.*y);

%xiyi =

% 435.3000

n = 10;

ycp = yi/n;

% ycp =

% 13.6

% Вычислим коэффициенты линейной регрессии по формулам

a1 = (n*xiyi-yi*xi)/(n*xi2-(xi).^2);

%a1 =

% 2.6597

a0 = (1/n)*(yi-a1*xi);

%a0 =

% 5.9135

% Таким образом, искомая регрессионная зависимость имеет вид:

yp = 5.9135+2.6597*x;

hold on;

plot(x, yp, 'k');

legend('экспериментальные данные', 'регрессионная зависимость');

Таблица 2

3, 5		12, 25	56, 00	15, 223	2, 634129	5, 76
2, 4		5, 76	31, 2	12, 297	1, 697809	0, 36
4, 9		24, 01	93, 1	18, 947	28, 59041	29, 16
4, 2		17, 64	75, 60	17, 085	12, 14523	19, 36
3, 0		9, 00	36, 00	13, 893	0, 085849	2, 56
1, 3		1, 69	14, 30	9, 371	17, 88444	6, 76
1, 0		1, 00	8, 00	8, 573	25, 27073	31, 36
3, 0		9, 00	42, 00	13, 893	0, 085849	0, 16
1, 5		2, 25	13, 50	9, 903	13, 66781	21, 16
4, 1		16, 81	65, 60	16, 819	10, 36196	5, 76
28, 9	136	99, 41	435, 30	–	112, 4242	122, 4

Как видим, линия регрессии хорошо " подогнана" под значения исходных данных.

Таким образом, искомая регрессионная зависимость имеет вид:

Наклон линии регрессии 2, 66 минут на км – это количество минут, приходящееся на один км расстояния. Координата точки пересечения прямой с осью Y 5, 913 минут – это время, которое не зависит от пройденного расстояния, а обуславливается всеми остальными возможными факторами, явно не учтенными при анализе.

Вычислим коэффициент детерминации. Величина R-квадрат, называемая также мерой определенности, характеризует качество полученной регрессионной прямой. Это качество выражается степенью соответствия между исходными данными и регрессионной моделью (расчетными данными). Мера определенности всегда находится в пределах интервала [0; 1].

%Вычислим коэффициент детерминации R.^2

R2 = sum((yp-ycp).^2)/sum((y-ycp).^2)

%R2 =

% 0.9183

% 91.8%

В нашем примере мера определенности равна 0, 91829, что говорит об очень хорошей подгонке регрессионной прямой к исходным данным.

Таким образом, линейная модель объясняет 91, 8% вариации времени доставки, что означает правильность выбора фактора (расстояния). Не объясняется вариации времени поездки, которые обусловлены остальными факторами, влияющими на время поставки, но не включенными в линейную модель регрессии.

Приблизительным, но самым простым и наглядным способом проверки удовлетворительности регрессионной модели является графическое представление отклонений:

Отложим отклонения по оси Y, для каждого значения .

plot(y, yp-y, 'ko'); grid;

xlabel('время, мин');

ylabel('отклонение e, мин');

Рис.. График отклонений

Если регрессионная модель близка к реальной зависимости, то отклонения будут носить случайный характер и их сумма будет близка к нулю.

sum(yp-y)

%ans

% 3.3000e-004*1000

В рассмотренном примере .

Обычно мерой ошибки регрессионной модели служит среднее квадратическое отклонение

Для нормально распределенных процессов приблизительно 67% точек находится в пределах одного отклонения от линии регрессии и 95% - в пределах .

% построение трубы сигма (ско)

plot(x, yp+cko, 'g-', x, yp-cko, 'g-');

hold on

% построение трубы 2 сигма (2 ско)

plot(x, yp+2*cko, 'r-', x, yp-2*cko, 'r-');

Решим задачу прогнозирования. Поскольку коэффициент детерминации R² имеет достаточно высокое значение и расстояние 2 км, для которого надо сделать прогноз, находится в пределах диапазона исходных данных (таблица 1), то мы можем использовать полученное уравнение линейной регрессии для прогнозирования

минут.

% прогнозирование

x_ = 2;

yp_ = 5.9135+2.6597*x_

%yp_ =

% 11.2329

При прогнозах на расстояния, не входящие в диапазон исходных данных, нельзя гарантировать справедливость полученной модели. Это объясняется тем, что связь между временем и расстоянием может изменяться по мере увеличения расстояния. На время дальних перевозок могут влиять новые факторы такие, как использование скоростных шоссе, остановки на отдых, обед и т.п.

Таким образом, в результате использования регрессионного анализа в пакете Маtlab мы:

• построили уравнение регрессии;
• установили форму зависимости и направление связи между переменными - положительная линейная регрессия, которая выражается в равномерном росте функции;
• установили направление связи между переменными;
• оценили качество полученной регрессионной прямой;
• смогли увидеть отклонения расчетных данных от данных исходного набора;
• предсказали будущее значение зависимой переменной.

Варианты задач для самостоятельного решения