Решение задачи о ресурсах

Вид сформулированной задачи в п. 5.1 не является каноническим, поскольку условия (5.4) имеют вид неравенств, а не уравнений и поставлена задача максимизации целевой функции (5.3). Путем введения дополнительных переменных х₃, х₄, х₅ (по количеству ограничений неравенств (5.4)) ограничения можно свести к равенствам, прибавив эти переменные к левым частям неравенств. Тогда ограничения примут вид

4 х₁ + 5 х₂ +х₃ = 300

2 х₁ + х₂ + х₄ = 100 (5.30)

2 х₁ +3х₂ + х₅= 160

При этом очевидно, что х₃ ≥ 0, x₄ ≥ 0, х₅ ≥ 0.

Заметим, что введение дополнительных неизвестных не повлияло на вид целевой функции (5.3), которая зависит только от параметров х₁ и х₂. Фактически x₃, х₄, x₅ будут указывать остатки ресурсов, не использованные в производстве.

Теперь нужно перейти от задачи максимизации к задаче минимизации. Если функцию цели (5.3) взять со знаком минус, то есть принять

(5.31)

то получим задачу минимизации для этой целевой функции. Нетрудно увидеть, что ранг матрицы системы ограничений (5.30)

(5.32)

равен 3. Следовательно, базисных неизвестных будет три, а свободных две. Ясно, что х₁ и х₂, должны быть среди базисных, за базисную неизвестную возьмем еще х₃. Тогда, разрешив систему (5.30) относительно х₁, x₂ и х₃, получим систему ограничений в базисной форме

х₁ = 35 - 0, 75 х₄ + 0, 25 х₅

х₂ = 30 + 0, 5 х₄ - 0, 5 х₅ (5.33)

х₃ = 10 + 0, 5 х₄ + 1, 5 х₅

Если свободные неизвестные x₄ и х₅ принять равными нулю, то неизвестные будут положительны. Следовательно, первый опорный план будет иметь вид (35, 30, 10, 0, 0).

Подставив в функцию цели (5.32) вместо базисных переменных их выражения (5.33), получим

(5.34)

Так как все коэффициенты при свободных неизвестных в функции цели положительны, то найденный опорный план будет оптимальным.

Таким образом, ответ на поставленную задачу об использовании ресурсов следующий: для получения максимальной суммарной стоимости продукции при заданных ресурсах необходимо запланировать изготовление изделий А в количестве 35 шт. и изделий В в количестве 30 шт.

Суммарная стоимость продукции равна 710 р. При этом все ресурсы стекла и рабочего времени будут использованы, а металла останется 10 кг.