Понятие о полиноме, отклике, факторах и уровнях варьирования, факторном пространстве

Для математического описания системы, как правило, применяют степенную функцию – ряд Тейлора, т.к. любую непрерывную функцию можно представить в виде полинома n -степени.

В общем виде уравнение представляют как:

(4.2)

В любой исследовательской задаче обязательно формулируется цель исследования и выбирается один или несколько критериев для ее достижения. Так целью эксперимента может быть снижение стоимости изделий за счет рационального подбора состава бетона. Критерием могут служить расход цемента или других материалов. В терминологии планирования эксперимента количественная оценка цели исследования носит название отклика и обозначается У. К отклику предъявляется ряд требований:

- отклик должен быть количественным и выражаться одним числом;

- иметь ясный физический смысл;

- должен быть статистически эффективным, т.е. измеряться с наибольшей точностью;

- должен быть информационным и однозначным, то есть должно максимизироваться или минимизироваться только одно свойство материала или процесса.

Фактором (обозначается X) в планировании эксперимента называют независимую изменяющуюся переменную, которая влияет на результаты эксперимента. Система может подвергаться воздействию большого числа факторов. При их выборе следует руководствоваться следующими принципами:

- факторы должны быть управляемыми, то есть экспериментатор может установить и поддерживать нужное значение фактора;

- точность замера факторов должна быть максимально высокой;

- факторы должны быть однозначны, то есть не являться функцией других факторов;

- факторы должны непосредственно воздействовать на отклик;

- совокупность факторов должна обладать свойством совместимости, что означает осуществимость и безопасность их комбинаций;

- факторы должны быть независимыми некоррелированными, то есть требуемое значение фактора устанавливается независимо от значений, которые имеют другие факторы.

Значения факторов, которые они принимают в опыте, называются уровнями. Обычно фактор имеет от 2 до 5 уровней. Обычно они изменяются через равные интервалы, но иногда могут быть и не равны между собой.

При планировании эксперимента факторы X_i из натуральных переменных (именованные величины с размерностью кг, м, руб. и т.д.) переводятся в кодированные х_i обычно с ограничением , которое превращает К-мерный параллелепипед в К-мерный куб, а эллипсоид – в сферу. С алгебраической точки зрения введение кодированных переменных отражает стремление к ортогонализации систем функций, с вычислительной – к упрощению расчетов оценок коэффициентов полиномиальных моделей, с общеметодической – к созданию стандартизированного набора оптимальных планов, независимых от субстанции и структуры объекта исследования. Переход от натуральных переменных к кодированным можно осуществить двумя операциями: центрированием и масштабированием. Центрирование – перенос начала координат системы кодированных факторов X_i в центр эксперимента с координатами в натуральных переменных:

(4.3)

Масштабирование – изменение центрированных числовых значений факторов в с раз:

с = 1/∆ X_i (4.4)

где ∆ X_i – полудиапазон изменения (так называемый диапазон варьирования) i-го фактора, вычисленный по формуле:

∆ X_i = 0, 5(X_{i max} - X_{i min}) (4.5)

Кодированные (x_i) переменные вычисляются по формуле:

x_i =(X_i – X_0i)/∆ X_i (4.6)

Возврат к натуральным переменным (X) осуществляется:

X=x_i∆ X_i+X_0i (4.7)

Введение кодированных переменных x_i изменяет аппроксимирующий полином

Y=a₀+Σ a_iX_i +Σ a_ijX_iX_j+Σ a_iiX_i² +…ε (4.8)

на полином вида

Y=b₀+Σ b_ix_i+Σ b_ijx_ix_j+Σ b_iix_i² +… (4.9)

в котором коэффициенты b₀, b_i, b_ii, b_ij – являются оценками истинных коэффициентов β ₀, β _i, β _ii, β _ij соответственно. Коэффициенты моделей (4.8) и (4.9) связаны между собой соотношениями. Однако не рекомендуется переводить модель, полученную для кодированных переменных, в модель, содержащую натуральные переменные X_i. Не касаясь математической и статистической стороны такого перевода, разрушающего оптимальность планов, отметим, что резко ухудшаются возможности интерпретации модели и принятия по ней технико-экономических решений.

В ряде случаев, когда модель относительно проста, стремятся получить ее графическое изображение, которое называется изолиниями, если это плоскость, изоповерхностями, если это трехмерное пространство.

Факторным пространством называется пространство, координатные оси которого соответствуют значениям факторов. Для однофакторной системы y=f(x) эта область представляется отрезком прямой, ограниченным максимальным и минимальным значениями фактора (x). Для многофакторной системы факторное пространство может быть ограничено прямоугольником (для двух факторов), прямоугольным параллелепипедом (для трех фактов).

В соответствии с целями исследования и возможностями их достижения для конкретной системы факторное пространство может принимать самые различные формы, ограниченные кусками линейных и нелинейных поверхностей (рисунок 9). Так сферическое ограничение, описанное радиусом вокруг R-мерного куба, целесообразно в ряде задач, связанных с поиском области оптимума, расположенной в любом равновероятном направлении от центра эксперимента. Усеченный квадрат с добавочной функцией часто применяется в системах с предельным физическим состоянием, возникающим при одновременном увеличении нескольких факторов (появляется взрывоопасность или расслоение смесии т.п.). Ограниченное треугольником факторное пространство характерно для специальных «смесевых» задач, когда сумма долей всех компонентов смеси есть величина постоянная, например, равная единице. Это факторное пространство широко применяется в физической химии, металлургии, в технологии цемента, стекла и т.п.

Рисунок 9 – Формы факторного пространства: а – квадрат после нормализации факторов; б – сфера, описанная вокруг квадрата; в – усечённый квадрат; г – симплекс

В зависимости от количества факторов модели могут быть одно-, двух-, трех-, четырехфаторные и более, но они встречаются реже. Общий вид моделей:

однофакторная модель: y=a₀+bx

двухфакторная: У=a₀+a₁x₁+a₂x₂+a₁₂x₁x₂+a₁₁x₁²+a₂₂x₂²

трехфакторная: У=a₀+a₁x₁+a₂x₂+a₃x₃+a₁₁x₁²+a₂₂x₂²+a₃₃x₃²+a₁₂x₁x₂+a₁₃x₁x_3.

Аналогично остальные.

Все коэффициенты являются случайными величинами – статистическими оценками истинных параметров полинома.

Смысл коэффициентов: свободный коэффициент - a₀ – тождественно равен расчетному значению отклика У в центре факторного пространства (при x_i =0).

Коэффициент a_i называется линейным эффектом фактора x_i, его следует интерпретировать как усредненную в исследуемом диапазоне скорость изменения отклика системы ∂ Ŷ / ∂ x_i при управлении x_i. Знак перед коэффициентом a _i определяет, увеличивается или уменьшается выход системы Ŷ с ростом x_i.

Коэффициент a_ij называется квадратичным эффектом фактора x_i. Его следует интерпретировать как ускорение изменения отклика системы ∂ ²Ŷ /∂ x_i² при изменении фактора x_i на безразмерную масштабную единицу.

Группа элементов a_ij x_i x_j представляют попарные произведения факторов x_i и x_j. Коэффициент a_ij у такого произведения называется эффектомвзаимодействия. Возможное число α {a_ij} эффектов взаимодействия равно числу сочетаний

с²k=k! /[2! (k-2)! ]=0, 5k(k-1): при k=2 α { a_ij }=1; k=3 α =3; k=9 α =36 и т.д.

где k – количество факторов.

Эффект взаимодействия меняет усредненную скорость изменения отклика системы Ŷ под влиянием управления фактором x₁ в зависимости от того, на каком уровне находится другой фактор x₂. Наличие в модели эффекта взаимодействия приведет к перемещению в факторном пространстве и линейной функции для скорости ∂ Ŷ / ∂ x_i и координат вершины параболы.