Числовые последовательности

Федеральное агентство по образованию

Воронежский государственный университет

Математический анализ

Числовые последовательности.

Предел числовой последовательности

Учебно-методическое пособие

по специальности 071900 «Информационные системы и технологии»

Для студентов 1 курса очной формы обучения

(издание второе переработанное и дополненное)

Воронеж - 2008

Аннотация издания

Пособие является переработанным и дополненным изданием выпущенного в 2006 году одноименного учебно-методического пособия, созданного на основе опыта преподавания курса математического анализа на факультете компьютерных наук ВГУ. В него включен материал, относящийся к темам «Числовые последовательности» и «Предел числовой последовательности». Каждый параграф содержит справочный материал, набор типовых примеров с решениями и задачи для самостоятельной работы. В пособии приведены варианты заданий, предлагавшихся на второй рубежной аттестации аттестации.

Рекомендовано научно-методическим советом математического факультета ВГУ

Авторы: к.ф-м.н, доцент Сергей Анатольевич Скляднев;

ассистент Светлана Вячеславовна Писарева

Научный редактор: д.ф-м.н, профессор Владимир Алексеевич Костин

Рецензент: д.ф-м.н, профессор Александр Васильевич Лобода

Редактор: О.А. Тихомирова

Ó С.А. Скляднев, С.В. Писарева

Ó Воронежский государственный университет

Числовые последовательности

СПРАВОЧНЫЕ СВЕДЕНИЯ

1.1 Определение числовой последовательности

Если каждому числу n из натурального ряда чисел 1, 2, 3,..., ,... поставлено в соответствие вещественное число , то множество вещественных чисел называется числовой последовательностью или просто последовательностью.

Числа называются элементами (членами) последовательности, символ — общим элементом (членом) последовательности, а — номером элемента. Последовательность, как правило, обозначают символом .

Последовательности , , , называются соответственно суммой, разностью, произведением и частным двух последовательностей: и .

Множество значений последовательности может быть как конечным, так и бесконечным, например, множество значений последовательности состоит из двух чисел, 1 и -1, множество значений последовательности бесконечно. Последовательность, множество значений которой состоит из одного числа, называют стационарной.

Последовательность может быть задана с помощью формулы вида

.

Формулу, выражающую через номер , например,

; ;

называют формулой общего члена последовательности.

Для задания последовательности используют и рекуррентные формулы, т.е. формулы, выражающие -й член последовательности через члены с меньшими номерами (предшествующие члены). Так определяют арифметическую и геометрическую прогрессии. Другими примерами являются последовательности

,

, ,

где a, b, c - заданные числа.

Последовательность называют подпоследовательностью последовательности , если есть такая строго возрастающая последовательность номеров , что для любого .

1.2 Ограниченные последовательности

Последовательность ограничена снизу, если существует число такое, что для всех верно неравенство

.

Число называют нижней гранью последовательности.

Последовательность ограничена сверху, если существует число такое, что для всех верно неравенство

.

Число называют верхней гранью последовательности.

Последовательность ограничена, если существуют числа и такие, что для всех верны неравенства

_.

Это определение равносильно следующему: последовательность ограничена, если существует число такое, что для всех верно неравенство , или

: .

Следовательно, последовательность ограничена тогда и только тогда, когда ограничено множество ее значений.

Последовательность не ограничена, если для любого найдется такое, что верно неравенство ; или

: .

Аналогично формулируется определение неограниченной сверху (снизу) последовательности.

1.3 Точные грани последовательностей

Число m называют точной нижней гранью (или инфимумом) множества членов последовательности (записывают ), если:

1). ;

2). : .

Число M называют точной верхней гранью (или супремумом) множества членов последовательности (записывают ), если:

1) ;

2) : .

Член последовательности называют наибольшим (соответственно наименьшим), если (соответственно ) для любого , и обозначают его (соответственно ).

Наибольший (соответственно наименьший) член последовательности называют также максимальным (соответственно минимальным).

Если существует (соответственно ), то = (соответственно = ).

Из существования (соответственно ) не следует существования (соответственно ).

1.4 Монотонные последовательности

Последовательность называют возрастающей (неубывающей), начиная с номера , если для любого , , верно неравенство .

Последовательность называют убывающей (невозрастающей), начиная с номера , если для любого , , верно неравенство .

Невозрастающую или неубывающую, начиная с номера , последовательность называют монотонной, начиная с номера (возрастающую или убывающую — строго монотонной).

Последовательность, возрастающую с номера , называют возрастающей (аналогично, убывающей и т. д.).

ПРИМЕРЫ С РЕШЕНИЯМИ

Пример 1. Дана формула общего члена последовательности : .

Написать пять первых членов этой последовательности.

Решение. Подставляя последовательно значения =1, 2, 3, 4, 5 в данную формулу общего члена последовательности, получаем:

; ; ; ; .

Пример 2. Доказать, что ограничены последовательности:

1) ; 2) .

Решение. 1) Поскольку

то

,

что и означает ограниченность .

2) Очевидно, для всех имеем

.

Так как , то, применив неравенство Бернулли, получим, что для всех

,

откуда

.

Таким образом, для всех верны неравенства

,

т. е. последовательность ограничена.

Пример 3. Доказать, что не ограничены последовательности:

1) ; 2) .

Решение. 1) Если , то и . Пусть - произвольное положительное число. Возьмем четное число , большее (например, ; тогда , т. е. данная последовательность не ограничена.

2) Из формулы общего члена последовательности имеем:

И, если то

Но так как то

.

Для произвольного положительного числа возьмем (например, ); тогда , и, значит, данная последовательность не ограничена.

Пример 4. Доказать, что последовательность , строго убывает, начиная с некоторого номера.

Решение. Рассмотрим отношение

.

Видно, что при

,

и, значит, (так как ). Итак, данная последовательность строго убывает, начиная с номера .

Пример 5. Доказать, что последовательность строго возрастает.

Решение. Рассмотрим отношение

.

Для любого из неравенства Бернулли получаем:

.

Откуда следует, что для любого

,

т.е. , что и доказывает наше утверждение.

ЗАДАЧИ

Задача 1. Написать пять первых членов каждой из последовательностей:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) .

Задача 2. Зная несколько первых членов последовательности, написать формулу общего члена последовательностей (выдвинуть какую-либо гипотезу)

1) 1; ; ; ; 2) 1; ; ; …;

3) 1; 2 ; 2 ; 3 ; 3 ;...; 4) 2; 10; 26; 82; 242; 730;...; 5) -1; 1; -1; 1; -1;....

Задача 3. Написать пять первых членов и формулу общего члена каждой из последовательностей, заданных рекуррентными соотношениями:

1) x₁ = 1, x_n+1 = x_n!; 2) x₁ = 1, x_n+1 = x_n+3; 3) x₁ = 1, x_n+1 = (n+1) x_n;

4) x₁ =2, x_n+1 =3x_n; 5). x₁ = 1, x_n+1 = x₁ + x₂ +…+ x_n

Задача 4. Выяснить, какие из чисел являются членами последовательности , если:

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

Задача 5. Является ли последовательность подпоследовательностью последовательности , если

1)

а) б)

2)

а) б)

3)

а) , ; б) .

Задача 6. Какие из последовательностей являются ограниченными:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) .

Задача 7. Доказать ограниченность последовательностей:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) .

Задача 8. Доказать неограниченность последовательностей:

1) 2) 3) 4)

5) ; 6) 7) ; 8) .

Задача 9. Доказать, что данные последовательности монотонны, начиная с некоторого номера (своего для каждой последовательности):

1) 2) 3) 4) ; 5)

6) 7) 8) 9) 10)

11) 12) 13) 14)

Задача 10. Доказать, что данные последовательности убывают, начиная с некоторого номера (своего для каждой последовательности):

1) 2) 3) 4) .